Упр.3.79 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) Расстояние между двумя причалами по реке равно 12 км. Лодка проходит этот путь в два конца за 2 ч. Скорость течения реки 2,5 км/ч. Определите, какое время занимает у лодки путь по течению реки.

Подробный ответ

а) Пусть $$x$$ км/ч — скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость по течению равна $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.

По условию весь путь занял 7 ч, значит:

$$ \frac{28}{x+3}+\frac{28}{x-3}=7 $$

Умножим на $$\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$:

$$ 28(x-3)+28(x+3)=7(x+3)(x-3) $$

$$ 56x=7(x^2-9) $$

$$ 56x=7x^2-63 $$

$$ 7x^2-56x-63=0 $$

$$ x^2-8x-9=0 $$

$$ D=64+36=100 $$

$$ x=\frac{8\pm 10}{2} $$

$$ x_1=-1,\quad x_2=9 $$

Так как скорость не может быть отрицательной, получаем $$x=9$$ км/ч.

Тогда можно найти и другие скорости:

$$ 9+3=12 \text{ км/ч},\qquad 9-3=6 \text{ км/ч} $$

Время по течению:

$$ \frac{28}{12}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\text{ ч}=2\text{ ч }20\text{ мин} $$

Время против течения:

$$ \frac{28}{6}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}\text{ ч}=4\text{ ч }40\text{ мин} $$

б) Пусть $$x$$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда по течению она движется со скоростью $$x+2{,}5$$ км/ч, а против течения — $$x-2{,}5$$ км/ч.

По условию весь путь в два конца занял 2 ч:

$$ \frac{12}{x+2{,}5}+\frac{12}{x-2{,}5}=2 $$

Умножим на $$\left(x+2{,}5\right)\left(x-2{,}5\right)$$:

$$ 12(x-2{,}5)+12(x+2{,}5)=2(x+2{,}5)(x-2{,}5) $$

$$ 24x=2(x^2-6{,}25) $$

$$ 24x=2x^2-12{,}5 $$

$$ 2x^2-24x-12{,}5=0 $$

$$ D=24^2+4\cdot 2\cdot 12{,}5=576+100=676 $$

$$ x=\frac{24\pm 26}{4} $$

$$ x_1=-0{,}5,\quad x_2=12{,}5 $$

Подходит только $$x=12{,}5$$ км/ч.

Тогда скорость по течению равна $$12{,}5+2{,}5=15$$ км/ч, и время по течению: