Упр.3.78 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) Улитка проползла по вертикальной стене 6 м вверх и спустилась на 5 м вниз, затратив на весь путь 14 ч. Её скорость при подъёме была на 2 м/ч меньше, чем при спуске. Сколько времени улитка ползла по стене вверх и сколько вниз?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км/ч — скорость велосипедиста по шоссе, тогда по просёлочной дороге он ехал со скоростью $$x-4$$ км/ч.
Тогда время движения по шоссе равно $$\frac{7}{x}$$ ч, а по просёлочной дороге — $$\frac{5}{x-4}$$ ч.
Составим уравнение:
$$ \frac{7}{x}+\frac{5}{x-4}=1 $$
Умножим на $$x(x-4)$$:
$$ 7(x-4)+5x=x(x-4) $$
$$ 7x-28+5x=x^2-4x $$
$$ x^2-16x+28=0 $$
$$ D=16^2-4\cdot 28=256-112=144 $$
$$ x_{1,2}=\frac{16\pm 12}{2} $$
$$ x_1=2,\quad x_2=14 $$
Так как $$x-4>0$$, то $$x>4$$, значит подходит только $$x=14$$.
Тогда скорость по шоссе равна $$14$$ км/ч, а по просёлочной дороге — $$10$$ км/ч.
Найдём время движения по каждой дороге:
$$ \frac{7}{14}=\frac{1}{2}\text{ ч}=30\text{ мин} $$
$$ \frac{5}{10}=\frac{1}{2}\text{ ч}=30\text{ мин} $$
Значит, можно узнать, что велосипедист ехал по шоссе 30 минут и по просёлочной дороге 30 минут.
Пусть $$x$$ м/ч — скорость улитки при подъёме, тогда при спуске её скорость равна $$x+2$$ м/ч.
Время подъёма равно $$\frac{6}{x}$$ ч, а время спуска — $$\frac{5}{x+2}$$ ч.
Составим уравнение:
$$ \frac{6}{x}+\frac{5}{x+2}=14 $$
Умножим на $$x(x+2)$$:
$$ 6(x+2)+5x=14x(x+2) $$
$$ 6x+12+5x=14x^2+28x $$
$$ 14x^2+17x-12=0 $$
$$ D=17^2-4\cdot 14\cdot(-12)=289+672=961 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-17\pm 31}{28} $$
$$ x_1=-\frac{12}{7},\quad x_2=\frac{1}{2} $$
Так как скорость положительна, получаем $$x=\frac{1}{2}$$ м/ч.
Тогда время подъёма:
$$ \frac{6}{0{,}5}=12\text{ ч} $$
Время спуска:
$$ \frac{5}{0{,}5+2}=\frac{5}{2{,}5}=2\text{ ч} $$