Упр.3.74 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) (x^2 + 1)/x + x/(x^2 + 1) = 5/2;
в) (x + 1)/x^2 — 3x^2/(x = 1) = 1/2.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=x^2-3$$, тогда уравнение принимает вид
$$y+\frac{1}{y}=2.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+1=2y,$$
$$y^2-2y+1=0,$$
$$\left(y-1\right)^2=0,$$
откуда $$y=1.$$
Тогда
$$x^2-3=1,$$
$$x^2=4,$$
$$x=\pm 2.$$
Проверка ОДЗ: $$y\ne 0,$$ то есть $$x^2-3\ne 0,$$ что выполняется для найденных значений.
б) Пусть $$y=\frac{x^2+1}{x},$$ тогда
$$y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$2y$$:
$$2y^2+2=5y,$$
$$2y^2-5y+2=0.$$
Найдём корни:
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,$$
$$y_1=\frac{5-3}{2\cdot 2}=\frac12,\qquad y_2=\frac{5+3}{2\cdot 2}=2.$$
1) Если $$\frac{x^2+1}{x}=\frac12,$$ то
$$2(x^2+1)=x,$$
$$2x^2-x+2=0.$$
$$D=1-16=-15<0,$$ значит, корней нет.
2) Если $$\frac{x^2+1}{x}=2,$$ то
$$x^2+1=2x,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
откуда $$x=1.$$
Проверка ОДЗ: $$x\ne 0.$$ Значение $$x=1$$ подходит.
в) Пусть $$y=\frac{x+1}{x^2},$$ тогда
$$y-\frac{3}{y}=\frac12.$$
Умножим на $$2y$$:
$$2y^2-6=y,$$
$$2y^2-y-6=0.$$
Найдём корни:
$$D=1+48=49,$$
$$y_1=\frac{1-7}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{1+7}{4}=2.$$
1) Если $$\frac{x+1}{x^2}=-\frac32,$$ то
$$2(x+1)=-3x^2,$$
$$3x^2+2x+2=0.$$
$$D=4-24=-20<0,$$ значит, корней нет.
2) Если $$\frac{x+1}{x^2}=2,$$ то
$$x+1=2x^2,$$
$$2x^2-x-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{1+3}{4}=1.$$
Проверка ОДЗ: $$x\ne 0,$$ $$x+1\ne 0,$$ то есть $$x\ne -1.$$ Оба найденных значения подходят.