Упр.3.73 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

414.
а) 15/(x^2 + x + 1) = 2(x^2 + x) + 1;
б) 1/(x^2 — 3x — 1) + 1/(x^2 — 3x — 2) = 5/(x^2 — 3x + 2);
в) (1 + 1/x)^2 — 5(2 + 1/x) + 11 = 0.

1. $$\frac{15}{x^2+x+1}=2(x^2+x)+1$$

   Пусть $$y=x^2+x$$, тогда

   $$\frac{15}{y+1}=2y+1$$

   $$15=(2y+1)(y+1)$$

   $$15=2y^2+3y+1$$

   $$2y^2+3y-14=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-14)=121$$

   $$y_1=\frac{-3-11}{4}=-\frac{7}{2}, \quad y_2=\frac{-3+11}{4}=2$$

   Проверим значения $$y$$:

   1) $$x^2+x=-\frac{7}{2}$$

   $$x^2+x+\frac{7}{2}=0$$

   $$D=1-14=-13$$

   Корней нет.

   2) $$x^2+x=2$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2, \quad x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$

2. $$\frac{1}{x^2-3x-1}+\frac{1}{x^2-3x-2}=\frac{5}{x^2-3x+2}$$

   Пусть $$y=x^2-3x$$, тогда

   $$\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-2}=\frac{5}{y+2}$$

   $$\frac{(y-2)+(y-1)}{(y-1)(y-2)}=\frac{5}{y+2}$$

   $$\frac{2y-3}{(y-1)(y-2)}=\frac{5}{y+2}$$

   $$ (2y-3)(y+2)=5(y-1)(y-2)$$

   $$2y^2+y-6=5y^2-15y+10$$

   $$3y^2-16y+16=0$$

   $$D=16^2-4\cdot 3\cdot 16=64$$

   $$y_1=\frac{16-8}{6}=\frac{4}{3}, \quad y_2=\frac{16+8}{6}=4$$

   Проверим значения $$y$$:

   1) $$x^2-3x=\frac{4}{3}$$

   $$3x^2-9x-4=0$$

   $$D=81+48=129$$

   $$x=\frac{9\pm \sqrt{129}}{6}$$

   2) $$x^2-3x=4$$

   $$x^2-3x-4=0$$

   $$D=25$$

   $$x_1=-1, \quad x_2=4$$

3. $$\left(1+\frac{1}{x}\right)^2-5\left(2+\frac{1}{x}\right)+11=0$$

   Пусть $$y=1+\frac{1}{x}$$, тогда $$2+\frac{1}{x}=y+1$$, и получаем

   $$y^2-5(y+1)+11=0$$

   $$y^2-5y+6=0$$

   $$D=1$$

   $$y_1=2, \quad y_2=3$$

   1) $$1+\frac{1}{x}=2$$

   $$\frac{1}{x}=1$$

   $$x=1$$

   2) $$1+\frac{1}{x}=3$$

   $$\frac{1}{x}=2$$

   $$x=\frac{1}{2}$$

   Область допустимых значений: $$x\ne 0$$.

Ответ

а) $$-2; \ 1$$

б) $$-1; \ 4; \ \frac{9\pm \sqrt{129}}{6}$$

в) $$\frac{1}{2}; \ 1$$