Упр.3.72 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\frac{x}{x-4}-\frac{x}{x-2}=\frac{4}{(x-4)(x-2)}$$;

б) $$\frac{x+2}{x-5}-\frac{3x}{(x-2)(x-5)}=\frac{2}{x-2}$$;

в) $$(x-1)(x-3)=\frac{x}{x-1}+\frac{4}{(x-1)(x-3)}$$;

г) $$\frac{2}{x-1}+\frac{5}{x+2}=\frac{13}{x^2+x-2}$$;

д) $$\frac{2}{x-1}+\frac{5}{x+2}=\frac{6}{x^2+x-2}$$;

е) $$\frac{2x}{x+1}+\frac{6}{x^2-3x-4}=\frac{x-1}{x-4}$$.

а)

$$\frac{x}{x-4}-\frac{x}{x-2}=\frac{4}{(x-4)(x-2)}$$
$$x(x-2)-x(x-4)=4$$
$$x^2-2x-x^2+4x=4$$
$$2x=4,\quad x=2$$

Но при $$x=2$$ знаменатель $$x-2=0$$, значит это значение не подходит.

Корней нет.

б)

$$\frac{x+2}{x-5}-\frac{3x}{(x-2)(x-5)}=\frac{2}{x-2}$$
$$\bigl((x+2)(x-2)-3x\bigr)=2(x-5)$$
$$x^2-2x+2x-4-3x=2x-10$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$\bigl(x-2\bigr)\bigl(x-3\bigr)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=3$$

При $$x=2$$ выражение не имеет смысла, а $$x=3$$ подходит.

Ответ: $$3$$.

в)

$$\frac{x-1}{x-3}=\frac{x}{x-1}+\frac{4}{(x-1)(x-3)}$$
$$\bigl((x-1)^2=x(x-3)+4\bigr)$$
$$x^2-2x+1=x^2-3x+4$$
$$x=3$$

Но при $$x=3$$ знаменатель $$x-3=0$$, значит это значение не подходит.

Корней нет.

г)

$$\frac{2}{x-1}+\frac{5}{x+2}=\frac{13}{x^2+x-2}$$
$$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$$
$$\frac{2}{x-1}+\frac{5}{x+2}=\frac{13}{(x-1)(x+2)}$$
$$2(x+2)+5(x-1)=13$$
$$2x+4+5x-5=13$$
$$7x=14$$
$$x=2$$

При $$x=2$$ выражение имеет смысл.

Ответ: $$2$$.

д)

$$\frac{2}{x-1}+\frac{5}{x+2}=\frac{6}{x^2+x-2}$$
$$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$$
$$\frac{2}{x-1}+\frac{5}{x+2}=\frac{6}{(x-1)(x+2)}$$
$$2(x+2)+5(x-1)=6$$
$$2x+4+5x-5=6$$
$$7x=7$$
$$x=1$$

Но при $$x=1$$ знаменатель $$x-1=0$$, значит это значение не подходит.

Корней нет.

е)

$$\frac{2x}{x+1}+\frac{6}{x^2-3x-4}=\frac{x-1}{x-4}$$
$$x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$$
$$\frac{2x}{x+1}+\frac{6}{(x+1)(x-4)}=\frac{x-1}{x-4}$$
$$2x(x-4)+6=(x-1)(x+1)$$
$$2x^2-8x+6=x^2-1$$
$$x^2-8x+7=0$$
$$\bigl(x-1\bigr)\bigl(x-7\bigr)=0$$
$$x=1 \text{ или } x=7$$

При $$x=-1$$ и $$x=4$$ выражение не имеет смысла, оба найденных значения подходят.

Ответ: $$1; 7$$.