Упр.3.71 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;
2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:
а) (y + 1/(y — 1))/(1 — 1/(y + 1));
б) (1/c + 1/(c + 1))/(1/c + 1/(c — 1));
в) x/(x + 2/(1 + (x + 2)/(x — 1)));

Подробный ответ

а) $$\dfrac{y+\dfrac{1}{y-1}}{1-\dfrac{1}{y+1}}$$
Чтобы выражение было равно нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю:
$$y+\dfrac{1}{y-1}=0$$
Умножим на $$y-1$$:
$$y(y-1)+1=0$$
$$y^2-y+1=0$$
$$D=1-4=-3<0$$
Корней нет, значит, выражение не обращается в нуль.
Найдём область допустимых значений:
$$y-1\ne 0,\quad y\ne 1$$
$$y+1\ne 0,\quad y\ne -1$$
$$1-\dfrac{1}{y+1}\ne 0$$
$$y+1-1\ne 0,\quad y\ne 0$$
Итак, $$y\ne -1,0,1$$.
б) $$\dfrac{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c+1}}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c-1}}$$
Чтобы выражение было равно нулю, числитель должен быть равен нулю:
$$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c+1}=0$$
Умножим на $$c(c+1)$$:
$$c+1+c=0$$
$$2c+1=0$$
$$c=-\dfrac{1}{2}$$
Теперь ОДЗ:
$$c\ne 0,\quad c\ne -1,\quad c\ne 1$$
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c-1}\ne 0$$
Умножим на $$c(c-1)$$:
$$c-1+c\ne 0$$
$$2c-1\ne 0$$
$$c\ne \dfrac{1}{2}$$
Итак, $$c\ne 0,\pm 1,\dfrac{1}{2}$$.
в) $$\dfrac{x}{x+\dfrac{2}{1+\dfrac{x+2}{x-1}}}$$
Чтобы выражение было равно нулю, нужно:
$$x=0$$
Проверим ОДЗ:
$$x-1\ne 0,\quad x\ne 1$$
$$1+\dfrac{x+2}{x-1}\ne 0$$
Умножим на $$x-1$$:
$$x-1+x+2\ne 0$$
$$2x+1\ne 0,\quad x\ne -\dfrac{1}{2}$$
Также знаменатель всей дроби не должен быть равен нулю:
$$x+\dfrac{2}{1+\dfrac{x+2}{x-1}}\ne 0$$
Умножим на $$1+\dfrac{x+2}{x-1}$$:
$$x\left(1+\dfrac{x+2}{x-1}\right)+2\ne 0$$
Умножим на $$x-1$$:
$$x(x-1)+x(x+2)+2(x-1)\ne 0$$
$$2x^2+3x-2\ne 0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25$$
$$x_{1,2}=\dfrac{-3\pm 5}{4}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\dfrac{1}{2}$$
Значит, $$x\ne -2,\dfrac{1}{2}$$.
Итак, ОДЗ: $$x\ne 1,-\dfrac{1}{2},-2,\dfrac{1}{2}$$.