Упр.3.68 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) (x^3 + 3)/x = 3x + 1;
в) x^2/(x^2 + 4) — 1/(x^2 — 2) = 0;
г) x/(x — 2) + x^2/(2x — 9) = 0.

Подробный ответ

а) $$\frac{x^2}{x+4}=\frac{x}{x+1}$$
Умножим обе части на $$(x+4)(x+1)$$:
$$x^2(x+1)=x(x+4)$$
$$x^3+x^2=x^2+4x$$
$$x^3-4x=0$$
$$x(x^2-4)=0$$
$$x(x-2)(x+2)=0$$
Отсюда $$x=0,\; x=2,\; x=-2.$$
Проверим ОДЗ: $$x\neq -4,\; x\neq -1.$$ Все найденные значения подходят.
б) $$\frac{x^3+3}{x}=3x+1$$
Умножим обе части на $$x$$:
$$x^3+3=3x^2+x$$
$$x^3-3x^2-x+3=0$$
$$x^2(x-3)-1(x-3)=0$$
$$ (x^2-1)(x-3)=0$$
$$ (x-1)(x+1)(x-3)=0$$
Отсюда $$x=3,\; x=1,\; x=-1.$$
ОДЗ: $$x\neq 0.$$ Все найденные значения подходят.
в) $$\frac{x^2}{x^2+4}-\frac{1}{x^2-2}=0$$
Перенесём одну дробь в другую часть:
$$\frac{x^2}{x^2+4}=\frac{1}{x^2-2}$$
Перемножим крест-накрест:
$$x^2(x^2-2)=x^2+4$$
$$x^4-2x^2=x^2+4$$
$$x^4-3x^2-4=0$$
Пусть $$y=x^2$$. Тогда:
$$y^2-3y-4=0$$
$$ (y-4)(y+1)=0$$
$$y=4 \text{ или } y=-1.$$
Так как $$y=x^2\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Значит,
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
ОДЗ: $$x^2+4\neq 0$$ — всегда верно, $$x^2-2\neq 0,$$ то есть $$x\neq \pm\sqrt2.$$ Найденные значения подходят.
г) $$\frac{x}{x-2}+\frac{x^2}{2x-9}=0$$
Перенесём вторую дробь вправо:
$$\frac{x}{x-2}=-\frac{x^2}{2x-9}$$
Перемножим крест-накрест:
$$x(2x-9)=-x^2(x-2)$$
$$2x^2-9x=-x^3+2x^2$$
$$x^3-9x=0$$
$$x(x^2-9)=0$$
$$x(x-3)(x+3)=0$$
Отсюда $$x=0,\; x=3,\; x=-3.$$
ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq \frac{9}{2}.$$ Все найденные значения подходят.