Упр.3.64 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

405.
а) (x + 2)/(x + 1) + (x + 3)/(x — 1) = 4/(x^2 — 1);
б) (4 — x)/(x + 2) + (x — 1)/(x — 2) = x^2/(x^2 — 4);
в) 2x/(x + 3) — x/(3 — x) = 9/(4x^2 — 36);
г) 5/(x^2 — 4) + x/(2 — x) = 2x/(x + 2).

Подробный ответ

а) $$\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}.$$
ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne 1.$$
Умножим обе части на $$\left(x-1\right)\left(x+1\right):$$
$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)+\left(x+3\right)\left(x+1\right)=4.$$
$$x^2-x+2x-2+x^2+x+3x+3-4=0,$$
$$2x^2+5x-3=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49,$$
$$x=\frac{-5\pm 7}{4}.$$
$$x_1=-3,\quad x_2=\frac12.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
б) $$\frac{4-x}{x+2}+\frac{x-1}{x-2}=\frac{x^2}{x^2-4}.$$
ОДЗ: $$x\ne -2,\; x\ne 2.$$
Умножим обе части на $$\left(x-2\right)\left(x+2\right):$$
$$\left(4-x\right)\left(x-2\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=x^2.$$
$$4x-8-x^2+2x+x^2+2x-x-2=x^2,$$
$$-x^2+7x-10=0.$$
$$D=7^2-4\cdot(-1)\cdot(-10)=49-40=9,$$
$$x=\frac{-7\pm 3}{-2}.$$
$$x_1=5,\quad x_2=2.$$
Так как $$x=2$$ не входит в ОДЗ, остаётся $$x=5.$$
в) $$\frac{2x}{x+3}-\frac{x}{3-x}=\frac{9}{4x^2-36}.$$
ОДЗ: $$x\ne -3,\; x\ne 3.$$
Заметим, что $$3-x=-(x-3),$$ поэтому
$$\frac{2x}{x+3}+\frac{x}{x-3}=\frac{9}{4\left(x-3\right)\left(x+3\right)}.$$
Умножим обе части на $$4\left(x-3\right)\left(x+3\right):$$
$$4\cdot 2x\left(x-3\right)+4x\left(x+3\right)=9.$$
$$8x^2-24x+4x^2+12x=9,$$
$$12x^2-12x-9=0,$$
$$4x^2-4x-3=0.$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64,$$
$$x=\frac{4\pm 8}{8}.$$
$$x_1=-\frac12,\quad x_2=\frac32.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
г) $$\frac{5}{x^2-4}+\frac{x}{2-x}=\frac{2x}{x+2}.$$
ОДЗ: $$x\ne -2,\; x\ne 2.$$
Так как $$2-x=-(x-2),$$ получаем
$$\frac{5}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x}{x-2}=\frac{2x}{x+2}.$$
Умножим обе части на $$\left(x-2\right)\left(x+2\right):$$
$$5-x\left(x+2\right)=2x\left(x-2\right).$$
$$5-x^2-2x=2x^2-4x,$$
$$-3x^2+2x+5=0.$$
$$D=2^2-4\cdot(-3)\cdot 5=4+60=64,$$
$$x=\frac{-2\pm 8}{-6}.$$
$$x_1=\frac53,\quad x_2=-1.$$
Оба корня подходят.