Упр.3.60 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения (401—403).
   401. а) $$\frac{x^2-2x}{3x+6}=0$$; б) $$\frac{x^2-1}{4x^2-x-3}=0$$; в) $$\frac{x^2+x}{x+1}=0$$; г) $$\frac{x^2-3x-18}{x+3}=0$$; д) $$\frac{x^2-4x}{x+4}=0$$; е) $$\frac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12}=0$$; ж) $$\frac{x(x+1)-(x+1)}{x(x-9)-(x-9)}=0$$; з) $$\frac{5(x+5)-x(x+5)}{x(x-2)}=0$$.

1. $$\frac{x^2-2x}{3x+6}=0$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$x^2-2x=0$$
   $$x(x-2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=2$$
   
   Знаменатель не должен обращаться в нуль:
   $$3x+6\ne 0,\quad x\ne -2$$
   
   Оба найденных значения подходят.
2. $$\frac{x^2-1}{4x^2-x-3}=0$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$x^2-1=0$$
   $$x=\pm 1$$
   
   Знаменатель:
   $$4x^2-x-3\ne 0$$
   $$4x^2-x-3=(4x-3)(x+1)$$
   
   Значит, $$x\ne -1$$ и $$x\ne \frac34$$.
   
   Подходит только $$x=1$$.
3. $$\frac{x^2+x}{x+1}=0$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$x^2+x=0$$
   $$x(x+1)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-1$$
   
   Но $$x+1\ne 0$$, значит $$x\ne -1$$.
   
   Остаётся $$x=0$$.
4. $$\frac{x^2-3x-18}{x+3}=0$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$x^2-3x-18=0$$
   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-18)=9+72=81$$
   $$x=\frac{3\pm 9}{2}$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=6$$
   
   Но $$x+3\ne 0$$, значит $$x\ne -3$$.
   
   Подходит $$x=6$$.
5. $$\frac{x^2-4x}{x+4}=0$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$x^2-4x=0$$
   $$x(x-4)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=4$$
   
   Знаменатель не должен быть равен нулю:
   $$x+4\ne 0,\quad x\ne -4$$
   
   Оба корня подходят.
6. $$\frac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12}=0$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$x^2+5x+6=0$$
   $$(x+2)(x+3)=0$$
   $$x=-2 \text{ или } x=-3$$
   
   Знаменатель:
   $$x^2+8x+12=(x+2)(x+6)\ne 0$$
   
   Значит, $$x\ne -2$$ и $$x\ne -6$$.
   
   Подходит только $$x=-3$$.
7. $$\frac{x(x+1)-(x+1)}{x(x-9)-(x-9)}=0$$
   
   Вынесем общий множитель:
   $$\frac{(x+1)(x-1)}{(x-9)(x-1)}=0$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$(x+1)(x-1)=0$$
   $$x=-1 \text{ или } x=1$$
   
   Знаменатель не должен обращаться в нуль:
   $$(x-9)(x-1)\ne 0,\quad x\ne 9,\ x\ne 1$$
   
   Значит, $$x=1$$ не подходит, остаётся $$x=-1$$.
8. $$\frac{5(x+5)-x(x+5)}{x(x-2)}=0$$
   
   Вынесем общий множитель в числителе:
   $$\frac{(x+5)(5-x)}{x(x-2)}=0$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$(x+5)(5-x)=0$$
   $$x=-5 \text{ или } x=5$$
   
   Знаменатель не должен быть равен нулю:
   $$x(x-2)\ne 0,\quad x\ne 0,\ x\ne 2$$
   
   Оба корня подходят.

Ответ

а) $$0, 2$$; б) $$1$$; в) $$0$$; г) $$6$$; д) $$0, 4$$; е) $$-3$$; ж) $$-1$$; з) $$-5, 5$$.