Упр.3.48 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. 389. Решите уравнение, введя подходящую замену (389—390).
   а) $$(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)-24=0$$;
   б) $$(x^2+x+1)^2+2(x^2+x+1)-3=0$$;
   в) $$(1-x)^4+(1-x)^2=20$$;
   г) $$(2-x^2)^4-10(2-x^2)^2=-9$$.

1. а) Пусть $$y=x^2+3x$$, тогда

   $$y^2+2y-24=0.$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-24)=100,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{2},$$

   откуда $$y_1=-6,\; y_2=4.$$

   1) $$x^2+3x=-6 \Rightarrow x^2+3x+6=0.$$

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 6=9-24=-15,$$ корней нет.

   2) $$x^2+3x=4 \Rightarrow x^2+3x-4=0.$$

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=25,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2},$$

   $$x_1=-4,\; x_2=1.$$

2. б) Пусть $$y=x^2+x+1$$, тогда

   $$y^2+2y-3=0.$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2},$$

   откуда $$y_1=-3,\; y_2=1.$$

   1) $$x^2+x+1=-3 \Rightarrow x^2+x+4=0.$$

   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot 4=-15,$$ корней нет.

   2) $$x^2+x+1=1 \Rightarrow x^2+x=0 \Rightarrow x(x+1)=0.$$

   $$x_1=0,\; x_2=-1.$$

3. в) Пусть $$y=(1-x)^2$$, тогда

   $$y^2+y-20=0.$$

   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-20)=81,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2},$$

   откуда $$y_1=-5,\; y_2=4.$$

   1) $$(1-x)^2=-5$$ — корней нет.

   2) $$(1-x)^2=4 \Rightarrow 1-2x+x^2=4 \Rightarrow x^2-2x-3=0.$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2},$$

   $$x_1=-1,\; x_2=3.$$

4. г) Пусть $$y=(2-x^2)^2$$, тогда

   $$y^2-10y+9=0.$$

   $$D=10^2-4\cdot 1\cdot 9=64,$$

   $$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2},$$

   откуда $$y_1=1,\; y_2=9.$$

   1) $$(2-x^2)^2=1 \Rightarrow 2-x^2=\pm 1.$$

   Если $$2-x^2=1,$$ то $$x^2=1,$$ значит $$x=\pm 1.$$

   Если $$2-x^2=-1,$$ то $$x^2=3,$$ значит $$x=\pm \sqrt{3}.$$

   2) $$(2-x^2)^2=9 \Rightarrow 2-x^2=\pm 3.$$

   Если $$2-x^2=3,$$ то $$x^2=-1,$$ корней нет.

   Если $$2-x^2=-3,$$ то $$x^2=5,$$ значит $$x=\pm \sqrt{5}.$$

Ответ

а) $$-4,\;1$$; б) $$0,\;-1$$; в) $$-1,\;3$$; г) $$\pm 1,\;\pm \sqrt{3},\;\pm \sqrt{5}$$.