Упр.3.44 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) х^4 — 6х^2 + 8 = 0;
б) 4х^4 + Зх^2 — 1 = 0;
в) 2х^4 + 9х^2 + 4 = 0;
г) х^4 — 6х^2 + 9 = 0.
Указание. Используйте подстановку у = х^2.
2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее четыре корня, два корня, не имеющее корней.

1. Решим биквадратные уравнения, сделав замену $$y=x^2$$.

   а)

   $$x^4-6x^2+8=0$$
   $$y^2-6y+8=0$$
   $$D=36-32=4$$
   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$
   $$y_1=2,\quad y_2=4$$
   $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$
   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$

   б)

   $$4x^4+3x^2-1=0$$
   $$4y^2+3y-1=0$$
   $$D=9+16=25$$
   $$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{8}$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac14$$
   $$x^2=-1$$
   корней нет;
   $$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12$$

   в)

   $$2x^4+9x^2+4=0$$
   $$2y^2+9y+4=0$$
   $$D=81-32=49$$
   $$y_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{4}$$
   $$y_1=-4,\quad y_2=-\frac12$$

   Оба значения отрицательны, а $$y=x^2\ge 0$$, значит корней нет.

   г)

   $$x^4-6x^2+9=0$$
   $$y^2-6y+9=0$$
   $$D=36-36=0$$
   $$y=\frac62=3$$
   $$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$$

2. Составим биквадратные уравнения.

   Имеет 4 корня:

   $$(x^2-4)(x^2-9)=0$$
   $$x^4-13x^2+36=0$$

   Имеет 2 корня:

   $$(x^2-5)^2=0$$
   $$x^4-10x^2+25=0$$

   Не имеет корней:

   $$(x^2+1)^2=0$$
   $$x^4+2x^2+1=0$$

Ответ

1) а) $$x=\pm \sqrt{2},\ \pm 2$$; б) $$x=\pm \frac12$$; в) корней нет; г) $$x=\pm \sqrt{3}$$.
2) Например: $$x^4-13x^2+36=0$$ — 4 корня; $$x^4-10x^2+25=0$$ — 2 корня; $$x^4+2x^2+1=0$$ — корней нет.