Упр.3.41 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Убедитесь, что уравнения $$5x(x+1)(x-2)=0$$, $$x^2(x+1)(2-x)=0$$, $$x(x+1)^2\cdot(x-2)=0$$, $$x(x+1)(2-x)(x^2+1)=0$$ имеют одни и те же корни.
2. Составьте несколько уравнений, корнями которых являются числа: а) $$0$$; $$-3$$; $$4$$; б) $$0$$; $$-1$$; $$-2$$; $$3$$.

1. Найдём корни каждого уравнения.

   $$5x(x+1)(x-2)=0$$
   $$x=0,\; x=-1,\; x=2.$$

   $$x^2(x+1)(2-x)=0$$
   $$x=0,\; x=-1,\; 2-x=0 \Rightarrow x=2.$$

   $$x(x+1)^2(x-2)=0$$
   $$x=0,\; x=-1,\; x=2.$$

   $$x(x+1)(2-x)(x^2+1)=0$$
   $$x=0,\; x=-1,\; 2-x=0 \Rightarrow x=2,$$
   а уравнение $$x^2+1=0$$ действительных корней не имеет.

   Во всех случаях корни одни и те же: $$0,\,-1,\;2.$$

2. Составим несколько уравнений с указанными корнями.

   а) Корни $$0,\,-3,\;4$$:

   $$x(x+3)(x-4)=0$$
   $$2x(3x+9)(4x-16)=0$$
   $$x^2(x+3)(4-x)=0$$
   $$4x(x+3)^2(x^2-16)=0$$

   б) Корни $$0,\,-1,\,-2,\;3$$:

   $$x(x+1)(x+2)(x-3)=0$$
   $$2x(3x+3)(2x+4)(3x-9)=0$$
   $$x^2(x+1)(x+2)^2(x^2-9)=0$$
   $$5x(3x+3)(6x+12)(3-x)=0$$

Ответ

1) Во всех четырёх уравнениях корни одинаковые: $$0,\,-1,\;2.$$
2) Примеры уравнений:
а) $$x(x+3)(x-4)=0$$, $$2x(3x+9)(4x-16)=0$$, $$x^2(x+3)(4-x)=0$$, $$4x(x+3)^2(x^2-16)=0$$;
б) $$x(x+1)(x+2)(x-3)=0$$, $$2x(3x+3)(2x+4)(3x-9)=0$$, $$x^2(x+1)(x+2)^2(x^2-9)=0$$, $$5x(3x+3)(6x+12)(3-x)=0$$.