Упр.3.34 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. а) Найдите наименьшее значение выражения $$x^2-2xy-y^2$$, если известно, что $$x+y=1$$. б) Найдите наибольшее значение выражения $$x^2-3xy+y^2$$, если известно, что $$x-y=2$$.

а) Из условия $$x+y=1$$ выразим $$y$$:

$$y=1-x.$$

Подставим в выражение:

$$x^2-2xy-y^2=x^2-2x(1-x)-(1-x)^2.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$x^2-2x+2x^2-(1-2x+x^2)=2x^2-1.$$

Так как $$2x^2 \ge 0$$, то

$$2x^2-1 \ge -1.$$

Наименьшее значение равно $$-1$$ и достигается при $$x=0$$, $$y=1$$.

б) Из условия $$x-y=2$$ выразим $$x$$:

$$x=2+y.$$

Подставим в выражение:

$$x^2-3xy+y^2=(2+y)^2-3y(2+y)+y^2.$$

Упростим:

$$4+4y+y^2-6y-3y^2+y^2=-y^2-2y+4.$$

Приведём к квадрату двучлена:

$$-y^2-2y+4=-(y^2+2y+1)+5=-(y+1)^2+5.$$

Так как $$-(y+1)^2 \le 0$$, то

$$-(y+1)^2+5 \le 5.$$

Наибольшее значение равно $$5$$ и достигается при $$y=-1$$, $$x=1$$.

Ответ

а) $$-1$$; б) $$5$$.