Упр.3.33 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2-2$$;
   б) $$\left(\frac{a^2}{a+1}-a\right)\left(\frac{5a^2}{a+1}-a\right)-\left(\frac{2a^2}{a+1}-a\right)\left(\frac{4a^2}{a+1}-a\right)$$.

а) Приведём к общему знаменателю:

$$\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2-2= \frac{(1+x)^4+(1-x)^4-2(1+x)^2(1-x)^2}{(1-x)^2(1+x)^2}$$

Числитель представим как квадрат разности:
$$(1+x)^4+(1-x)^4-2(1+x)^2(1-x)^2= \left((1+x)^2-(1-x)^2\right)^2$$

Тогда
$$\left((1+x)^2-(1-x)^2\right)^2=\left(4x\right)^2=16x^2$$
и
$$(1-x)^2(1+x)^2=(1-x^2)^2.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2-2= \frac{16x^2}{(1-x^2)^2}=\left(\frac{4x}{1-x^2}\right)^2.$$

б) Обозначим

$$y=\frac{a^2}{a+1}.$$
Тогда выражение примет вид
$$(y-a)(5y-a)-(2y-a)(4y-a).$$

Раскроем скобки:

$$(y-a)(5y-a)=5y^2-6ay+a^2,$$
$$(2y-a)(4y-a)=8y^2-6ay+a^2.$$

Вычитаем:

$$(5y^2-6ay+a^2)-(8y^2-6ay+a^2)=-3y^2.$$

Подставим значение $$y$$:

$$-3y^2=-3\left(\frac{a^2}{a+1}\right)^2=-\frac{3a^4}{(a+1)^2}.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{4x}{1-x^2}\right)^2$$

б) $$-\frac{3a^4}{(a+1)^2}$$