Упр.3.33 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) ((1 + x)/(1 — x))^2 + ((1 — x)/(1 + x))^2 — 2;
б) (a^2/(a + 1) — a)(5a^2/(a + 1) — a) — (2a^2/(a + 1) — a)(4a^2/(a + 1) — a).

а) Приведём к общему знаменателю:

$$ \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2-2= \frac{(1+x)^4+(1-x)^4-2(1+x)^2(1-x)^2}{(1-x)^2(1+x)^2} $$

Числитель представим как квадрат разности:
$$ (1+x)^4+(1-x)^4-2(1+x)^2(1-x)^2= \left((1+x)^2-(1-x)^2\right)^2 $$

Тогда
$$ \left((1+x)^2-(1-x)^2\right)^2=\left(4x\right)^2=16x^2 $$
и
$$ (1-x)^2(1+x)^2=(1-x^2)^2. $$
Следовательно,
$$ \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2-2= \frac{16x^2}{(1-x^2)^2}=\left(\frac{4x}{1-x^2}\right)^2. $$

б) Обозначим

$$ y=\frac{a^2}{a+1}. $$
Тогда выражение примет вид
$$ (y-a)(5y-a)-(2y-a)(4y-a). $$

Раскроем скобки:

$$ (y-a)(5y-a)=5y^2-6ay+a^2, $$
$$ (2y-a)(4y-a)=8y^2-6ay+a^2. $$

Вычитаем:

$$ (5y^2-6ay+a^2)-(8y^2-6ay+a^2)=-3y^2. $$

Подставим значение $y$:

$$ -3y^2=-3\left(\frac{a^2}{a+1}\right)^2=-\frac{3a^4}{(a+1)^2}. $$

Ответ

а) $$\left(\frac{4x}{1-x^2}\right)^2$$

б) $$-\frac{3a^4}{(a+1)^2}$$