Упр.3.32 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. 3.32. Докажите тождество:
   а) $$\frac{(x^2+x-1)^2-(x^2+x-4)^2}{(x^2+x-2)^2-(x^2+x-3)^2}=3$$;
   б) $$(x-\frac{1}{x})(4x-\frac{4}{x})(9x-\frac{9}{x})-(2x-\frac{2}{x})(3x-\frac{3}{x})(6x-\frac{6}{x})=0$$.

а) Пусть $$y=x^2+x.$$ Тогда исходное выражение преобразуется к виду

$$\frac{(y-1)^2-(y-4)^2}{(y-2)^2-(y-3)^2}.$$

Раскроем разность квадратов:

$$(y-1)^2-(y-4)^2=(y^2-2y+1)-(y^2-8y+16)=6y-15,$$

$$(y-2)^2-(y-3)^2=(y^2-4y+4)-(y^2-6y+9)=2y-5.$$

Тогда

$$\frac{6y-15}{2y-5}=\frac{3(2y-5)}{2y-5}=3.$$

Следовательно, тождество верно.

б) Пусть $$y=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(4x-\frac{4}{x}\right)\left(9x-\frac{9}{x}\right) -\left(2x-\frac{2}{x}\right)\left(3x-\frac{3}{x}\right)\left(6x-\frac{6}{x}\right)$$

$$= y\cdot 4y\cdot 9y-2y\cdot 3y\cdot 6y =36y^3-36y^3=0.$$

Тождество верно.

Ответ

а) $$3$$; б) $$0$$.