Упр.3.31 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (1/(x — 1) + 8/(x^2 — 6x + 5) · (x^2 — 1)/x= -(x + 1)/x;
б) (x — 1)/(x + 6) : (3/(x + 6) + (5x + 2)/(x^2 + 5x — 6) — x/(x — 1)) = -1;
в) (1/(25x^2 — 1) + (4x^2 — 3x)/(5x — 1) · 25x/(3 + 11x — 20x^2))= -1;
г) 9/(10x^2 — 11x — 6) : (2x + 3)/(10x^2 + 4x) — 8x^3/(4x^2 — 9) = -2x.

Подробный ответ

а) Разложим знаменатель на множители:
$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5).$$
Тогда
$$\left(\frac{1}{x-1}+\frac{8}{(x-1)(x-5)}-\frac{2}{x-5}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x}.$$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{x-5+8-2(x-1)}{(x-1)(x-5)}=\frac{x+3-2x+2}{(x-1)(x-5)}=\frac{5-x}{(x-1)(x-5)}=-\frac{1}{x-1}.$$
Кроме того,
$$x^2-1=(x-1)(x+1).$$
Тогда
$$-\frac{1}{x-1}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}=-\frac{x+1}{x}.$$
б) Разложим знаменатель:
$$x^2+5x-6=(x+6)(x-1).$$
Тогда
$$\frac{x-1}{x+6}:\left(\frac{3}{x+6}+\frac{5x+2}{(x+6)(x-1)}-\frac{x}{x-1}\right).$$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{3(x-1)+5x+2-x(x+6)}{(x+6)(x-1)}.$$
Числитель:
$$3x-3+5x+2-x^2-6x=-x^2+2x-1=-(x-1)^2.$$
Значит,
$$\frac{x-1}{x+6}:\frac{-(x-1)^2}{(x+6)(x-1)}=\frac{x-1}{x+6}\cdot \frac{(x+6)(x-1)}{-(x-1)^2}=-1.$$
в) Разложим знаменатели:
$$25x^2-1=(5x-1)(5x+1),$$
$$3+11x-20x^2=(3-4x)(1+5x).$$
Тогда
$$\frac{1}{(5x-1)(5x+1)}+\frac{4x^2-3x}{5x-1}\cdot \frac{25x}{(3-4x)(1+5x)}.$$
Вынесем множители:
$$4x^2-3x=x(4x-3), \qquad 3-4x=-(4x-3).$$
Получаем
$$\frac{1}{(5x-1)(5x+1)}-\frac{25x^2}{(5x-1)(1+5x)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{1-25x^2}{(5x-1)(5x+1)}=\frac{(1-5x)(1+5x)}{(5x-1)(5x+1)}=-1.$$
г) Разложим знаменатели:
$$10x^2-11x-6=(5x+2)(2x-3),$$
$$10x^2+4x=2x(5x+2), \qquad 4x^2-9=(2x-3)(2x+3).$$
Тогда
$$\frac{9}{(5x+2)(2x-3)}:\frac{2x+3}{2x(5x+2)}-\frac{8x^3}{(2x-3)(2x+3)}.$$
Выполним деление:
$$\frac{9}{(5x+2)(2x-3)}\cdot \frac{2x(5x+2)}{2x+3}-\frac{8x^3}{(2x-3)(2x+3)}.$$
Сократим:
$$\frac{18x}{(2x-3)(2x+3)}-\frac{8x^3}{(2x-3)(2x+3)}.$$
Получаем
$$\frac{18x-8x^3}{4x^2-9}=\frac{2x(9-4x^2)}{4x^2-9}=-2x.$$