Упр.3.31 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{1}{x-1}+\frac{8}{x^2-6x+5}\cdot\frac{x^2-1}{x}=-\frac{x+1}{x};$$
   б) $$\frac{x-1}{x+6}:\left(\frac{3}{x+6}+\frac{5x+2}{x^2+5x-6}-\frac{x}{x-1}\right)=-1;$$
   в) $$\frac{1}{25x^2-1}+\frac{4x^2-3x}{5x-1}\cdot\frac{25x}{3+11x-20x^2}=-1;$$
   г) $$\frac{9}{10x^2-11x-6}:\frac{2x+3}{10x^2+4x}-\frac{8x^3}{4x^2-9}=-2x.$$

1. а) Разложим знаменатель на множители:

   $$x^2-6x+5=(x-1)(x-5).$$

   Тогда

   $$\left(\frac{1}{x-1}+\frac{8}{(x-1)(x-5)}-\frac{2}{x-5}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x}.$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

   $$\frac{x-5+8-2(x-1)}{(x-1)(x-5)}=\frac{x+3-2x+2}{(x-1)(x-5)}=\frac{5-x}{(x-1)(x-5)}=-\frac{1}{x-1}.$$

   Кроме того,

   $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

   Тогда

   $$-\frac{1}{x-1}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}=-\frac{x+1}{x}.$$

2. б) Разложим знаменатель:

   $$x^2+5x-6=(x+6)(x-1).$$

   Тогда

   $$\frac{x-1}{x+6}:\left(\frac{3}{x+6}+\frac{5x+2}{(x+6)(x-1)}-\frac{x}{x-1}\right).$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

   $$\frac{3(x-1)+5x+2-x(x+6)}{(x+6)(x-1)}.$$

   Числитель:

   $$3x-3+5x+2-x^2-6x=-x^2+2x-1=-(x-1)^2.$$

   Значит,

   $$\frac{x-1}{x+6}:\frac{-(x-1)^2}{(x+6)(x-1)}=\frac{x-1}{x+6}\cdot \frac{(x+6)(x-1)}{-(x-1)^2}=-1.$$

3. в) Разложим знаменатели:

   $$25x^2-1=(5x-1)(5x+1),$$

   $$3+11x-20x^2=(3-4x)(1+5x).$$

   Тогда

   $$\frac{1}{(5x-1)(5x+1)}+\frac{4x^2-3x}{5x-1}\cdot \frac{25x}{(3-4x)(1+5x)}.$$

   Вынесем множители:

   $$4x^2-3x=x(4x-3), \qquad 3-4x=-(4x-3).$$

   Получаем

   $$\frac{1}{(5x-1)(5x+1)}-\frac{25x^2}{(5x-1)(1+5x)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{1-25x^2}{(5x-1)(5x+1)}=\frac{(1-5x)(1+5x)}{(5x-1)(5x+1)}=-1.$$

4. г) Разложим знаменатели:

   $$10x^2-11x-6=(5x+2)(2x-3),$$

   $$10x^2+4x=2x(5x+2), \qquad 4x^2-9=(2x-3)(2x+3).$$

   Тогда

   $$\frac{9}{(5x+2)(2x-3)}:\frac{2x+3}{2x(5x+2)}-\frac{8x^3}{(2x-3)(2x+3)}.$$

   Выполним деление:

   $$\frac{9}{(5x+2)(2x-3)}\cdot \frac{2x(5x+2)}{2x+3}-\frac{8x^3}{(2x-3)(2x+3)}.$$

   Сократим:

   $$\frac{18x}{(2x-3)(2x+3)}-\frac{8x^3}{(2x-3)(2x+3)}.$$

   Получаем

   $$\frac{18x-8x^3}{4x^2-9}=\frac{2x(9-4x^2)}{4x^2-9}=-2x.$$

Ответ

а) $$-\frac{x+1}{x}$$; б) $$-1$$; в) $$-1$$; г) $$-2x$$.