Упр.3.21 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) (x + y + z)/(x^2 + y^2 + z^2);
б) (x + y + z)/(x^2 + y^2 + 1);
в) (1/(x + y) + z)/(x^2 + y^2 + 1).

1. Для дроби $$\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}$$ знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x^2+y^2+z^2 \ne 0.$$

   Так как $$x^2 \ge 0,$$ $$y^2 \ge 0,$$ $$z^2 \ge 0,$$ то сумма квадратов равна нулю только при

   $$x=0,\ y=0,\ z=0.$$

   Значит, область определения: все значения $$x,y,z,$$ кроме одновременно нулевых.

2. Для дроби $$\frac{x+y+z}{x^2+y^2+1}$$ нужно, чтобы

   $$x^2+y^2+1 \ne 0.$$

   Но $$x^2 \ge 0,$$ $$y^2 \ge 0,$$ поэтому

   $$x^2+y^2+1 \ge 1,$$

   то есть знаменатель никогда не равен нулю.

   Следовательно, выражение определено при любых значениях $$x$$ и $$y.$$

3. Для дроби $$\frac{\frac{1}{x+y}+z}{x^2+y^2+1}$$ необходимо:

   $$x+y \ne 0,$$

   так как в числителе есть дробь $$\frac{1}{x+y},$$ и

   $$x^2+y^2+1 \ne 0.$$

   Второе условие выполняется всегда, потому что

   $$x^2+y^2+1 \ge 1.$$

   Остаётся только условие

   $$x+y \ne 0,$$

   то есть $$x \ne -y.$$

Ответ

а) $$x=y=z=0$$ не допускается;
б) при любых значениях $$x$$ и $$y$$;
в) $$x \ne -y.$$