Упр.3.18 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех значениях переменных:
   а) значение выражения $$(a-b)^2+(a+b)^2-(a-b)(a+b)$$ является числом неотрицательным;
   б) значение выражения $$(x+2)(x-2)-(2x-1)(2x+1)+3$$ является числом неположительным.

а) Раскроем скобки:

$$(a-b)^2+(a+b)^2-(a-b)(a+b)$$
$$=(a^2-2ab+b^2)+(a^2+2ab+b^2)-(a^2-b^2)$$
$$=a^2-2ab+b^2+a^2+2ab+b^2-a^2+b^2$$
$$=a^2+3b^2$$

Так как $$a^2 \ge 0$$ и $$3b^2 \ge 0$$ при любых значениях $$a$$ и $$b$$, то

$$a^2+3b^2 \ge 0.$$

Значит, выражение является неотрицательным при любых значениях переменных.

б) Раскроем скобки:

$$(x+2)(x-2)-(2x-1)(2x+1)+3$$
$$=(x^2-4)-(4x^2-1)+3$$
$$=x^2-4-4x^2+1+3$$
$$=-3x^2$$

Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$-3x^2 \le 0$$ при любых значениях $$x$$.

Следовательно, выражение является неположительным при любых значениях переменной.

Ответ

а) $$a^2+3b^2 \ge 0$$; б) $$-3x^2 \le 0$$.