Упр.3.17 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения:

а) $$\left(x-y-\frac{x^2-y^2}{y}\right)\cdot\frac{y}{xy-x^2}$$ равно $$1$$;

б) $$\left(\frac{1}{a-1}-\frac{2}{a^2-1}\right)\cdot\frac{a+1}{2}$$ равно $$0{,}5$$;

в) $$\frac{b+c}{b-c}-\frac{b^2+c^2}{b^2-c^2}+\frac{2bc}{c^2-b^2}$$ равно $$0$$;

г) $$\frac{1-m}{m}\cdot\frac{m^2}{m^2-1}+\frac{m^2-m}{m^2-1}$$ равно $$0$$.

1. а)

   $$\left(x-y-\frac{x^2-y^2}{y}\right)\cdot \frac{y}{xy-x^2}$$
   $$=\frac{xy-y^2-(x^2-y^2)}{y}\cdot \frac{y}{xy-x^2}$$
   $$=\frac{xy-y^2-x^2+y^2}{xy-x^2}$$
   $$=\frac{xy-x^2}{xy-x^2}=1.$$

   Тождество доказано.

2. б)

   $$\left(\frac{1}{a-1}-\frac{2}{a^2-1}\right)\cdot \frac{a+1}{2}$$
   $$=\left(\frac{1}{a-1}-\frac{2}{(a-1)(a+1)}\right)\cdot \frac{a+1}{2}$$
   $$=\frac{a+1-2}{(a-1)(a+1)}\cdot \frac{a+1}{2}$$
   $$=\frac{a-1}{(a-1)(a+1)}\cdot \frac{a+1}{2}$$
   $$=\frac{1}{2}=0{,}5.$$

   Тождество доказано.

3. в)

   $$\frac{b+c}{b-c}-\frac{b^2+c^2}{b^2-c^2}+\frac{2bc}{c^2-b^2}$$
   $$=\frac{b+c}{b-c}-\frac{b^2+c^2}{(b-c)(b+c)}-\frac{2bc}{(b-c)(b+c)}$$
   $$=\frac{(b+c)^2-(b^2+c^2)-2bc}{(b-c)(b+c)}$$
   $$=\frac{b^2+2bc+c^2-b^2-c^2-2bc}{(b-c)(b+c)}$$
   $$=\frac{0}{(b-c)(b+c)}=0.$$

   Тождество доказано.

4. г)

   $$\frac{1-m}{m}\cdot \frac{m^2}{m^2-1}+\frac{m^2-m}{m^2-1}$$
   $$=-\frac{m-1}{m}\cdot \frac{m^2}{(m-1)(m+1)}+\frac{m(m-1)}{(m-1)(m+1)}$$
   $$=-\frac{m}{m+1}+\frac{m}{m+1}=0.$$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$1$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0$$; г) $$0$$.