Упр.3.169 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

510.
х^3 + у^3 = 35 и x + y = 5.
Указание. Преобразуйте левую часть первого уравнения, воспользовавшись тождеством а^3 + b^3 = (а + b)^3 — Зab(а + b).

Используем тождество $$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).$$ Тогда

$$ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y). $$

По условию $$x+y=5$$ и $$x^3+y^3=35$$, значит

$$ 5^3-3xy\cdot 5=35 $$
$$ 125-15xy=35 $$
$$ 15xy=90 $$
$$ xy=6. $$

Получаем систему

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} $$

Пусть $$y=5-x$$. Тогда

$$ x(5-x)=6 $$
$$ 5x-x^2=6 $$
$$ x^2-5x+6=0. $$

Разложим на множители:

$$ (x-2)(x-3)=0. $$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=3$$. Тогда

$$ y=5-2=3 $$
или
$$ y=5-3=2. $$

Ответ

$$(2; 3),\ (3; 2).$$