Упр.3.168 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 2.

Из условия имеем систему:

$$ \begin{cases} x^4+y^4=17,\\ xy=-2. \end{cases} $$

Используем тождество:

$$ x^4+2x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2. $$

Тогда

$$ (x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4=17+2\cdot(-2)^2=17+8=25. $$

Так как $$x^2+y^2\ge 0$$, получаем:

$$ x^2+y^2=5. $$

Теперь найдём сумму и разность:

$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=5+2\cdot(-2)=1, $$

значит

$$ x+y=\pm 1. $$

Также

$$ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=5-2\cdot(-2)=9, $$

откуда

$$ x-y=\pm 3. $$

Решим все возможные системы:

$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ x-y=-3 \end{cases} \Rightarrow x=-2,\ y=1; $$

$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ x-y=3 \end{cases} \Rightarrow x=1,\ y=-2; $$

$$ \begin{cases} x+y=1,\\ x-y=-3 \end{cases} \Rightarrow x=-1,\ y=2; $$

$$ \begin{cases} x+y=1,\\ x-y=3 \end{cases} \Rightarrow x=2,\ y=-1. $$

Ответ

$$( -2;\ 1),\ (-1;\ 2),\ (1;\ -2),\ (2;\ -1).$$