Упр.3.167 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

508. Решите систему уравнений разными способами: $$\begin{cases} x^2+y^2=41, \\ xy=20. \end{cases}$$
     Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 1.

Решим систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=41,\\ xy=20. \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$2xy=40.$$

Тогда

$$x^2-2xy+y^2=41-40,$$
$$(x-y)^2=1,$$
откуда
$$x-y=1 \quad \text{или} \quad x-y=-1.$$

1) Если $$x-y=-1$$, то $$y=x+1$$. Подставим в $$xy=20$$:
$$x(x+1)=20,$$
$$x^2+x-20=0.$$
$$D=1+80=81,$$
$$x=\frac{-1\pm 9}{2}.$$
Получаем:
$$x=-5,\ y=-4;$$
$$x=4,\ y=5.$$

2) Если $$x-y=1$$, то $$y=x-1$$. Подставим в $$xy=20$$:
$$x(x-1)=20,$$
$$x^2-x-20=0.$$
$$D=1+80=81,$$
$$x=\frac{1\pm 9}{2}.$$
Получаем:
$$x=-4,\ y=-5;$$
$$x=5,\ y=4.$$

Ответ

$$( -5;\,-4),\ (-4;\,-5),\ (4;\,5),\ (5;\,4).$$