Упр.3.167 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

508.
x^2 + y^2 = 41 и xy = 20.
Указание. В качество образца воспользуйтесь примером 1.

Решим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=41,\\ xy=20. \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$ 2xy=40. $$

Тогда

$$ x^2-2xy+y^2=41-40, $$
$$ (x-y)^2=1, $$
откуда
$$ x-y=1 \quad \text{или} \quad x-y=-1. $$

1) Если $$x-y=-1$$, то $$y=x+1$$. Подставим в $$xy=20$$:
$$ x(x+1)=20, $$
$$ x^2+x-20=0. $$
$$ D=1+80=81, $$
$$ x=\frac{-1\pm 9}{2}. $$
Получаем:
$$ x=-5,\ y=-4; $$
$$ x=4,\ y=5. $$

2) Если $$x-y=1$$, то $$y=x-1$$. Подставим в $$xy=20$$:
$$ x(x-1)=20, $$
$$ x^2-x-20=0. $$
$$ D=1+80=81, $$
$$ x=\frac{1\pm 9}{2}. $$
Получаем:
$$ x=-4,\ y=-5; $$
$$ x=5,\ y=4. $$

Ответ

$$( -5;\,-4),\ (-4;\,-5),\ (4;\,5),\ (5;\,4).$$