Упр.3.165 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: При каких значениях с прямая х + у = с касается окружности х^2 + у^2 = 2? пересекает эту окружность в двух точках?

Подставим из уравнения прямой $$x+y=c$$ значение $$y=c-x$$ в уравнение окружности $$x^2+y^2=2$$:

$$x^2+(c-x)^2=2$$

$$x^2+c^2-2cx+x^2=2$$

$$2x^2-2cx+(c^2-2)=0$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда уравнение имеет один корень, то есть $$D=0$$:

$$D=(-2c)^2-4\cdot 2\cdot (c^2-2)=4c^2-8c^2+16=16-4c^2=4(4-c^2)$$

$$4(4-c^2)=0$$

$$c^2=4$$

$$c=\pm 2$$

Прямая пересекает окружность в двух точках, когда $$D>0$$:

$$4(4-c^2)>0$$

$$4-c^2>0$$

$$c^2<4$$

$$|c|<2$$

то есть $$-2<c<2$$.

Ответ

Касается при $$c=\pm 2$$; пересекает в двух точках при $$-2<c<2$$.