Упр.3.160 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любых значениях a уравнение имеет хотя бы один корень: а) $$x^2-5ax+6a^2=0$$; б) $$(x+a)(x-a)=1-2a$$.

а) Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2-5ax+6a^2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=( -5a)^2-4\cdot 1\cdot 6a^2=25a^2-24a^2=a^2.$$

Так как $$a^2\ge 0$$ при любых значениях $$a$$, то $$D\ge 0$$. Значит, уравнение имеет хотя бы один корень при любом $$a$$.

б) Преобразуем уравнение:

$$(x+a)(x-a)=1-2a$$

$$x^2-a^2=1-2a$$

$$x^2=a^2-2a+1$$

$$x^2=(a-1)^2.$$

Так как $$x^2\ge 0$$ и $$(a-1)^2\ge 0$$ при любых значениях $$a$$, то уравнение имеет решения:

$$x=\pm(a-1).$$

Следовательно, при любом значении $$a$$ уравнение имеет хотя бы один корень.

Ответ

а) при любом $$a$$ уравнение имеет хотя бы один корень, так как $$D=a^2\ge 0$$;

б) при любом $$a$$ уравнение имеет корни $$x=\pm(a-1)$$, значит, хотя бы один корень существует.