Упр.3.159 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) ах^2 — (а + 1)x + 1 = 0;
б) ах^2 — (а^2 + 4)х + 4а = 0.

а) Рассмотрим уравнение $$ax^2-(a+1)x+1=0.$$

Если $$a=0,$$ получаем линейное уравнение

$$-x+1=0,$$

у которого только один корень. Значит, для двух корней нужно $$a\ne 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4a=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно $$D>0.$$ Тогда

$$ (a-1)^2>0, $$

то есть $$a\ne 1.$$

Следовательно, уравнение имеет два корня при $$a\ne 0$$ и $$a\ne 1.$$

б) Рассмотрим уравнение $$ax^2-(a^2+4)x+4a=0.$$

Если $$a=0,$$ получаем

$$-4x=0,$$

откуда $$x=0.$$ Это один корень, значит, для двух корней нужно $$a\ne 0.$$

При $$a\ne 0$$ разложим на множители:

$$ax^2-a^2x-4x+4a=0,$$

$$ax(x-a)-4(x-a)=0,$$

$$ (ax-4)(x-a)=0. $$

Тогда корни:

$$x_1=a,\qquad x_2=\frac{4}{a}.$$

Чтобы корни были различными, нужно

$$a\ne \frac{4}{a},$$

то есть

$$a^2\ne 4.$$

Следовательно, $$a\ne \pm 2.$$

Ответ

а) $$a\ne 0,\ a\ne 1.$$
б) $$a\ne 0,\ a\ne \pm 2.$$