Упр.3.14 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) ((a + b)/a — (a + b)/b) : (1/a + 1/b) = b — a;
в) (1 — 1/(c — 1)) · (1 + 1/(c — 2)) = 1;
г) (x/y — y/x)^2 — (x/y + y/x)^2 = -4.

1. а)

   $$\left(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}\right):\left(\frac{1}{m-n}+\frac{1}{m+n}\right)$$
   $$=\frac{m+n-(m-n)}{(m-n)(m+n)}:\frac{m+n+(m-n)}{(m-n)(m+n)}$$
   $$=\frac{2n}{(m-n)(m+n)}:\frac{2m}{(m-n)(m+n)}$$
   $$=\frac{2n}{(m-n)(m+n)}\cdot\frac{(m-n)(m+n)}{2m}=\frac{n}{m}.$$
   Тождество доказано.

2. б)

   $$\left(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}\right):\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$$
   $$=\frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab}:\frac{b+a}{ab}$$
   $$=\frac{(a+b)(b-a)}{ab}:\frac{a+b}{ab}$$
   $$=\frac{(a+b)(b-a)}{ab}\cdot\frac{ab}{a+b}=b-a.$$
   Тождество доказано.

3. в)

   $$\left(1-\frac{1}{c-1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{c-2}\right)$$
   $$=\frac{c-1-1}{c-1}\cdot\frac{c-2+1}{c-2}$$
   $$=\frac{c-2}{c-1}\cdot\frac{c-1}{c-2}=1.$$
   Тождество доказано.

4. г)

   $$\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2$$
   $$=\left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right)^2-\left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)^2$$
   $$=\frac{(x^2-y^2)^2-(x^2+y^2)^2}{x^2y^2}$$
   $$=\frac{x^4-2x^2y^2+y^4-(x^4+2x^2y^2+y^4)}{x^2y^2}$$
   $$=\frac{-4x^2y^2}{x^2y^2}=-4.$$
   Тождество доказано.

Ответ

а) $$\frac{n}{m}$$; б) $$b-a$$; в) $$1$$; г) $$-4$$.