Упр.3.138 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Два ученика 9 класса вместе расчистили школьный каток за 20 мин. В следующий раз один из них расчистил 2/3 — площади катка, а после этого его сменил другой и закончил работу. При этом каток был расчищен за 40 мин. За какое время может расчистить каток каждый из школьников, работая отдельно?

Пусть первый ученик может расчистить каток за $$x$$ мин, а второй — за $$y$$ мин. Тогда за 1 минуту они вместе расчищают

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$

часть катка. По условию вместе они справились за 20 минут, значит

$$20\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1.$$

Во второй раз первый ученик расчистил $$\frac{2}{3}$$ катка, а второй — оставшуюся $$\frac{1}{3}$$. На это ушло 40 минут, поэтому

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=40.$$

Умножим второе уравнение на 3:

$$2x+y=120,$$

откуда

$$y=120-2x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$20\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{120-2x}\right)=1.$$

Умножим на $$x(120-2x)$$:

$$20(120-2x)+20x=x(120-2x).$$

$$2400-40x+20x=120x-2x^2$$

$$2x^2-140x+2400=0$$

$$x^2-70x+1200=0.$$

Найдём корни:

$$D=70^2-4\cdot 1200=4900-4800=100,$$

$$x_{1,2}=\frac{70\pm 10}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=30,\quad x_2=40.$$

Тогда

$$y=120-2x.$$

Если $$x=30$$, то $$y=60$$; если $$x=40$$, то $$y=40$$.

Значит, один из учеников может расчистить каток за 30 мин, второй — за 60 мин, либо оба могут делать это за 40 мин.

Ответ

$$30\text{ мин и }60\text{ мин}$$ или $$40\text{ мин и }40\text{ мин}$$.