Упр.3.137 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Два крана, открытые одновременно, могут наполнить водой детский бассейн за 20 мин. Если сначала на 25 мин открыть только первый кран, а затем его закрыть и открыть второй, то через 16 мин бассейн наполнится. За сколько минут может наполнить бассейн каждый кран в отдельности?

Пусть первый кран наполняет бассейн за $$x$$ мин, а второй — за $$y$$ мин. Тогда за 1 минуту первый кран наполняет $$\frac{1}{x}$$ бассейна, а второй — $$\frac{1}{y}$$ бассейна.

По условию, вместе они наполняют бассейн за 20 минут, значит:

$$20\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1.$$

Если сначала 25 минут работает только первый кран, а затем 16 минут — только второй, то бассейн тоже наполняется полностью:

$$\frac{25}{x}+\frac{16}{y}=1.$$

Обозначим $$a=\frac{1}{x}$$, $$b=\frac{1}{y}$$. Тогда получаем систему:

$$ \begin{cases} 20a+20b=1,\\ 25a+16b=1. \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое, предварительно приведя коэффициенты к общему виду:

$$ \begin{cases} 100a+100b=5,\\ 100a+64b=4. \end{cases} $$

Тогда

$$36b=1,\qquad b=\frac{1}{36}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$20a+20\cdot\frac{1}{36}=1,$$

$$20a=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9},$$

$$a=\frac{1}{45}.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$\frac{1}{x}=\frac{1}{45}\Rightarrow x=45,$$

$$\frac{1}{y}=\frac{1}{36}\Rightarrow y=36.$$

Ответ

Первый кран — 45 минут, второй — 36 минут.