Упр.3.135 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Можно ли в круг радиуса $$12{,}5\text{ см}$$ вписать прямоугольник, площадь которого $$168\text{ см}^2$$?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$ см.

Так как все углы прямоугольника прямые, то он вписан в окружность, а его диагональ является диаметром этой окружности.

Радиус круга равен $$12{,}5$$ см, значит диаметр равен $$25$$ см. Тогда

$$x^2+y^2=25^2=625.$$

По условию площадь прямоугольника равна $$168$$ см², значит

$$xy=168.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} xy=168,\\ x^2+y^2=625. \end{cases}$$

Выразим $$y$$:

$$y=\frac{168}{x}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+\left(\frac{168}{x}\right)^2=625.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-625x^2+168^2=0.$$

Положим $$a=x^2$$. Тогда

$$a^2-625a+28224=0.$$

Найдём корни:

$$D=625^2-4\cdot 28224=277729=527^2,$$

$$a_{1,2}=\frac{625\pm 527}{2}.$$

Отсюда

$$a_1=49,\qquad a_2=576.$$

Тогда

$$x=7 \text{ или } x=24.$$

Соответственно, вторая сторона равна

$$y=24 \text{ или } y=7.$$

Значит, такой прямоугольник можно вписать в круг.

Ответ

Да, можно; стороны прямоугольника равны $$7$$ см и $$24$$ см.