Упр.3.134 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Площадь прямоугольного треугольника равна 30 см^2, а его гипотенуза равна 13 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$y$$ см.

По условию площадь равна $$30\text{ см}^2$$, значит

$$\frac{1}{2}xy=30,$$

откуда

$$xy=60.$$

По теореме Пифагора для гипотенузы $$13$$ см имеем

$$x^2+y^2=169.$$

Решим систему

$$ \begin{cases} xy=60,\\ x^2+y^2=169. \end{cases} $$

Выразим $$y$$ через $$x$$:

$$y=\frac{60}{x}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+\left(\frac{60}{x}\right)^2=169.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-169x^2+3600=0.$$

Обозначим $$a=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение

$$a^2-169a+3600=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=169^2-4\cdot 3600=28561-14400=14161=119^2.$$

Тогда

$$a_1=\frac{169-119}{2}=25,\qquad a_2=\frac{169+119}{2}=144.$$

Следовательно,

$$x^2=25 \Rightarrow x=5,$$

или

$$x^2=144 \Rightarrow x=12.$$

Тогда соответствующие значения второго катета:

$$y=\frac{60}{5}=12,\qquad y=\frac{60}{12}=5.$$

Значит, катеты треугольника равны $$5$$ см и $$12$$ см.

Ответ

$$5\text{ см и }12\text{ см}.$$