Упр.3.131 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
- а) Начертите план участка прямоугольной формы, в котором отрезок $$AB$$ (рис. 3.16) — это дорожка, идущая по диагонали участка. Длина дорожки $$13$$ м, а периметр участка равен $$34$$ м. Сколько решений имеет задача?
б) На отрезке $$AB$$ как на диаметре (рис. 3.17) построена полуокружность. Её радиус равен $$10$$ см. Постройте на полуокружности точку $$C$$, такую, чтобы расстояние от этой точки до одного из концов диаметра было на $$4$$ см больше, чем расстояние от этой точки до другого конца диаметра. Сколько решений имеет задача?
а) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ м и $$y$$ м.
Тогда по условию:
$$\begin{cases} 2(x+y)=34,\\ x^2+y^2=13^2 \end{cases}$$
Из первого уравнения получаем:
$$x+y=17.$$
Подставим $$y=17-x$$ во второе уравнение:
$$x^2+(17-x)^2=169$$
$$x^2+289-34x+x^2=169$$
$$2x^2-34x+120=0$$
$$x^2-17x+60=0$$
$$(x-5)(x-12)=0$$
Отсюда $$x=5$$ или $$x=12$$. Тогда в обоих случаях вторая сторона равна соответственно $$12$$ или $$5$$.
Значит, задача имеет два решения: стороны прямоугольника могут быть $$5$$ м и $$12$$ м.
б) Пусть $$AC=x$$ см, $$BC=y$$ см.
Так как точка $$C$$ лежит на полуокружности с диаметром $$AB$$, то $$\angle ACB=90^\circ$$, значит, треугольник $$ACB$$ прямоугольный.
Радиус полуокружности равен $$10$$ см, следовательно,
$$AB=20$$ см.
По условию один из катетов на $$4$$ см больше другого:
$$x-y=4.$$
По теореме Пифагора:
$$x^2+y^2=20^2=400.$$
Решим систему:
$$\begin{cases} x-y=4,\\ x^2+y^2=400 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$y=x-4$$. Подставим во второе:
$$x^2+(x-4)^2=400$$
$$2x^2-8x-384=0$$
$$x^2-4x-192=0$$
$$(x-16)(x+12)=0$$
Так как длина отрезка не может быть отрицательной, получаем $$x=16$$, тогда $$y=12$$.
Если поменять катеты местами, получаем второе положение точки $$C$$: $$x=12$$, $$y=16$$.
Следовательно, задача имеет два решения.
Ответ
а) $$2$$ решения: $$5$$ м и $$12$$ м.
б) $$2$$ решения: $$AC=16$$ см, $$BC=12$$ см или $$AC=12$$ см, $$BC=16$$ см.
