Упр.3.131 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) На отрезке АВ как на диаметре (рис. 3.17) построена полуокружность. Её радиус равен 10 см. Постройте на полуокружности точку С, такую, чтобы расстояние от этой точки до одного из концов диаметра было на 4 см больше, чем расстояние от этой точки до другого конца диаметра. Сколько решений имеет задача?

а) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ м и $$y$$ м.

Тогда по условию:

$$ \begin{cases} 2(x+y)=34,\\ x^2+y^2=13^2 \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем:

$$x+y=17.$$

Подставим $$y=17-x$$ во второе уравнение:

$$ x^2+(17-x)^2=169 $$

$$ x^2+289-34x+x^2=169 $$

$$ 2x^2-34x+120=0 $$

$$ x^2-17x+60=0 $$

$$ (x-5)(x-12)=0 $$

Отсюда $$x=5$$ или $$x=12$$. Тогда в обоих случаях вторая сторона равна соответственно $$12$$ или $$5$$.

Значит, задача имеет два решения: стороны прямоугольника могут быть $$5$$ м и $$12$$ м.

б) Пусть $$AC=x$$ см, $$BC=y$$ см.

Так как точка $$C$$ лежит на полуокружности с диаметром $$AB$$, то $$\angle ACB=90^\circ$$, значит, треугольник $$ACB$$ прямоугольный.

Радиус полуокружности равен $$10$$ см, следовательно,

$$AB=20$$ см.

По условию один из катетов на $$4$$ см больше другого:

$$x-y=4.$$

По теореме Пифагора:

$$x^2+y^2=20^2=400.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x-y=4,\\ x^2+y^2=400 \end{cases} $$

Из первого уравнения $$y=x-4$$. Подставим во второе:

$$ x^2+(x-4)^2=400 $$

$$ 2x^2-8x-384=0 $$

$$ x^2-4x-192=0 $$

$$ (x-16)(x+12)=0 $$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, получаем $$x=16$$, тогда $$y=12$$.

Если поменять катеты местами, получаем второе положение точки $$C$$: $$x=12$$, $$y=16$$.

Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ

а) $$2$$ решения: $$5$$ м и $$12$$ м.
б) $$2$$ решения: $$AC=16$$ см, $$BC=12$$ см или $$AC=12$$ см, $$BC=16$$ см.