Упр.3.130 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. а) Периметр прямоугольника 14 см, а длина его диагонали 5 см. Найдите стороны прямоугольника. б) Одна из сторон прямоугольника на 2 см короче другой, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ см и $$y$$ см.

Тогда по условию:

$$2(x+y)=14 \Rightarrow x+y=7,$$
$$x^2+y^2=25.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=7,\\ x^2+y^2=25. \end{cases}$$

Выразим $$y$$:

$$y=7-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+(7-x)^2=25,$$
$$x^2+49-14x+x^2=25,$$
$$2x^2-14x+24=0,$$
$$x^2-7x+12=0.$$

$$(x-3)(x-4)=0,$$
значит, $$x=3$$ или $$x=4$$.

Тогда стороны прямоугольника: $$3$$ см и $$4$$ см.

б) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ см и $$y$$ см, причём $$x>y$$.

По условию:

$$x-y=2,$$
$$x^2+y^2=100.$$

Выразим $$y$$:

$$y=x-2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+(x-2)^2=100,$$
$$x^2+x^2-4x+4=100,$$
$$2x^2-4x-96=0,$$
$$x^2-2x-48=0.$$

$$(x-8)(x+6)=0,$$
откуда $$x=8$$ или $$x=-6$$. Отрицательное значение не подходит.

Значит, $$x=8$$, тогда

$$y=8-2=6.$$

Ответ

а) $$3$$ см и $$4$$ см; б) $$6$$ см и $$8$$ см.