Упр.3.129 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
- а) Периметр прямоугольного треугольника равен $$24\ \text{см}$$, его гипотенуза равна $$10\ \text{см}$$. Найдите катеты этого треугольника. б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$25\ \text{см}$$, а один из его катетов больше другого на $$17\ \text{см}$$. Найдите катеты этого треугольника.
а) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ см и $$y$$ см. Тогда по теореме Пифагора и по условию о периметре получаем систему:
$$\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ x+y+10=24. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x+y=14,\quad y=14-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+(14-x)^2=100$$
$$x^2+196-28x+x^2=100$$
$$2x^2-28x+96=0$$
$$x^2-14x+48=0$$
$$D=14^2-4\cdot48=196-192=4$$
$$x_{1,2}=\frac{14\pm2}{2}$$
$$x_1=6,\quad x_2=8$$
Тогда соответствующие значения $$y$$ равны $$8$$ и $$6$$. Значит, катеты треугольника: $$6$$ см и $$8$$ см.
б) Пусть катеты равны $$x$$ см и $$y$$ см, причём $$x>y$$. Тогда:
$$\begin{cases} x^2+y^2=625,\\ x-y=17. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=x-17.$$
Подставим в первое:
$$x^2+(x-17)^2=625$$
$$x^2+x^2-34x+289=625$$
$$2x^2-34x-336=0$$
$$x^2-17x-168=0$$
$$D=17^2+4\cdot168=289+672=961=31^2$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm31}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=24$$
Отрицательное значение не подходит, значит $$x=24$$, тогда
$$y=24-17=7.$$
Ответ
а) $$6$$ см и $$8$$ см; б) $$7$$ см и $$24$$ см.
