Упр.3.129 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из его катетов больше другого на 17 см. Найдите катеты этого треугольника.

а) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ см и $$y$$ см. Тогда по теореме Пифагора и по условию о периметре получаем систему:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=100,\\ x+y+10=24. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$x+y=14,\quad y=14-x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$ x^2+(14-x)^2=100 $$

$$ x^2+196-28x+x^2=100 $$

$$ 2x^2-28x+96=0 $$

$$ x^2-14x+48=0 $$

$$ D=14^2-4\cdot48=196-192=4 $$

$$ x_{1,2}=\frac{14\pm2}{2} $$

$$ x_1=6,\quad x_2=8 $$

Тогда соответствующие значения $$y$$ равны $$8$$ и $$6$$. Значит, катеты треугольника: $$6$$ см и $$8$$ см.

б) Пусть катеты равны $$x$$ см и $$y$$ см, причём $$x>y$$. Тогда:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=625,\\ x-y=17. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$y=x-17.$$

Подставим в первое:

$$ x^2+(x-17)^2=625 $$

$$ x^2+x^2-34x+289=625 $$

$$ 2x^2-34x-336=0 $$

$$ x^2-17x-168=0 $$

$$ D=17^2+4\cdot168=289+672=961=31^2 $$

$$ x_{1,2}=\frac{17\pm31}{2} $$

$$ x_1=-7,\quad x_2=24 $$

Отрицательное значение не подходит, значит $$x=24$$, тогда

$$ y=24-17=7. $$

Ответ

а) $$6$$ см и $$8$$ см; б) $$7$$ см и $$24$$ см.