Упр.3.125 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
1) Система уравнений x^2 + y^2 = 4 и y = x^2 + b, где b — произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также не иметь решений. Проиллюстрируйте каждый случай с помощью схематического рисунка. Подберите конкретную систему, соответствующую каждому случаю.
2) Сколько решений может иметь указанная система, если известно, что:
а) b — произвольное положительное число;
б) b — произвольное отрицательное число?
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2+b. \end{cases} $$
Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$ (0;0) $$ и радиусом $$ 2 $$, а второе — параболу с вершиной в точке $$ (0;b) $$, ветви которой направлены вверх.
Число решений системы равно числу точек пересечения окружности и параболы.
1) Возможны все случаи:
- если $$ b=2 $$, то система имеет 1 решение;
- если $$ -2<b<2 $$, то система имеет 2 решения;
- если $$ b=-2 $$, то система имеет 3 решения;
- если $$ b<-2 $$, то система имеет 4 решения;
- если $$ b>2 $$, то система не имеет решений.
Подходящие примеры систем:
- $$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2+2 \end{cases} $$ — 1 решение;
- $$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2 \end{cases} $$ — 2 решения;
- $$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2-2 \end{cases} $$ — 3 решения;
- $$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2-3 \end{cases} $$ — 4 решения;
- $$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2+3 \end{cases} $$ — решений нет.
2)
а) Если $$ b>0 $$, то система может иметь одно, два или ни одного решения.
б) Если $$ b<0 $$, то система может иметь два, три, четыре или ни одного решения.
Ответ
1) $$1, 2, 3, 4$$ решения или решений нет — в зависимости от $$b$$; примеры систем указаны выше.
2) а) $$1, 2$$ или $$0$$ решений; б) $$2, 3, 4$$ или $$0$$ решений.
