Упр.3.125 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Система уравнений $$x^2+y^2=4$$ и $$y=x^2+b$$, где $$b$$ — произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также не иметь решений. Проиллюстрируйте каждый случай с помощью схематического рисунка. Подберите конкретную систему, соответствующую каждому случаю.
2. Сколько решений может иметь указанная система, если известно, что:
   а) $$b$$ — произвольное положительное число;
   б) $$b$$ — произвольное отрицательное число?

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2+b. \end{cases}$$

Первое уравнение задаёт окружность с центром в точке $$(0;0)$$ и радиусом $$2$$, а второе — параболу с вершиной в точке $$(0;b)$$, ветви которой направлены вверх.

Число решений системы равно числу точек пересечения окружности и параболы.

1) Возможны все случаи:

• если $$b=2$$, то система имеет 1 решение;
• если $$-2<b<2$$, то система имеет 2 решения;
• если $$b=-2$$, то система имеет 3 решения;
• если $$b<-2$$, то система имеет 4 решения;
• если $$b>2$$, то система не имеет решений.

Подходящие примеры систем:

• $$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2+2 \end{cases}$$ — 1 решение;
• $$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2 \end{cases}$$ — 2 решения;
• $$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2-2 \end{cases}$$ — 3 решения;
• $$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2-3 \end{cases}$$ — 4 решения;
• $$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ y=x^2+3 \end{cases}$$ — решений нет.

2)

а) Если $$b>0$$, то система может иметь одно, два или ни одного решения.

б) Если $$b<0$$, то система может иметь два, три, четыре или ни одного решения.

Ответ

1) $$1, 2, 3, 4$$ решения или решений нет — в зависимости от $$b$$; примеры систем указаны выше.
2) а) $$1, 2$$ или $$0$$ решений; б) $$2, 3, 4$$ или $$0$$ решений.