Упр.3.124 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку М(4; -5); точку N(-4; -5).
2) Запишите уравнение прямой, которая пересекает параболу в точках В и С.

Найдём уравнение параболы $$y=ax^2+bx+c$$, проходящей через точки $$A(0;3)$$, $$B(-1;0)$$ и $$C(1;4)$$.

Подставим координаты точек в уравнение:

$$ \begin{cases} 3=c,\\ 0=a-b+c,\\ 4=a+b+c. \end{cases} $$

Так как $$c=3$$, получаем:

$$ \begin{cases} a-b=-3,\\ a+b=1. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 2a=-2,\quad a=-1. $$

Тогда из $$a+b=1$$:

$$ -1+b=1,\quad b=2. $$

Искомая парабола:

$$ y=-x^2+2x+3. $$

1) Проверим точки $$M(4;-5)$$ и $$N(-4;-5)$$:

$$ y(4)=-4^2+2\cdot 4+3=-16+8+3=-5. $$

$$ y(-4)=-(-4)^2+2\cdot(-4)+3=-16-8+3=-21. $$

Значит, парабола проходит через точку $$M(4;-5)$$, но не проходит через точку $$N(-4;-5)$$.

2) Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$B(-1;0)$$ и $$C(1;4)$$. Пусть она имеет вид $$y=kx+b$$.

Подставим координаты точек:

$$ \begin{cases} 0=-k+b,\\ 4=k+b. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$b=k$$. Тогда из второго:

$$ 4=k+k=2k,\quad k=2,\quad b=2. $$

Следовательно, уравнение прямой:

$$ y=2x+2. $$

Ответ

1) Через точку $$M(4;-5)$$ проходит, через точку $$N(-4;-5)$$ не проходит.
2) $$y=2x+2$$.