Упр.3.123 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Парабола $$y=ax^2+bx+c$$ проходит через точки $$M(0;1)$$, $$N(1;0)$$ и $$K(3;10)$$. Задайте эту параболу уравнением и постройте её.

Пусть искомая парабола имеет вид $$y=ax^2+bx+c.$$

Так как она проходит через точки $$M(0;1),\ N(1;0),\ K(3;10),$$ подставим их координаты в уравнение:

$$\begin{cases} c=1,\\ a+b+c=0,\\ 9a+3b+c=10. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $$c=1.$$ Тогда

$$\begin{cases} a+b+1=0,\\ 9a+3b+1=10. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$3a+3b+3=0.$$

Вычтем его из второго:

$$(9a+3b+1)-(3a+3b+3)=10-0,$$
$$6a-2=10,$$
$$6a=12,$$
$$a=2.$$

Подставим $$a=2$$ в уравнение $$a+b+1=0$$:

$$2+b+1=0,$$
$$b=-3.$$

Следовательно, уравнение параболы:

$$y=2x^2-3x+1.$$

Для построения можно отметить несколько точек графика:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 6 & 1 & 0 & 3 & 10 \end{array}$$

Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{4},\qquad y_0=2\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\cdot\frac{3}{4}+1=-\frac18.$$

Значит, вершина имеет координаты $$\left(\frac34;-\frac18\right).$$

Ответ

$$y=2x^2-3x+1.$$