Упр.3.122 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
б) xy — y = 1 и xy + x = 4;
в) xy + x^2 = 1 и xy — x^2 = 1/2;
г) x + y + xy = -6 и x + y — xy = 10.
Указание. Воспользуйтесь методом сложения.
а)
$$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x^2-y^2=7 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x^2=32,$$
$$x^2=16,$$
$$x=\pm 4.$$Тогда из первого уравнения:
$$y^2=25-16=9,$$
$$y=\pm 3.$$Получаем пары:
$$ (4; 3),\ (-4; 3),\ (4; -3),\ (-4; -3). $$
б)
$$\begin{cases} xy-y=1,\\ xy+x=4 \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$x+y=3,$$
$$x=3-y.$$Подставим в первое уравнение:
$$y(3-y)-y=1,$$
$$3y-y^2-y-1=0,$$
$$-y^2+2y-1=0,$$
$$y^2-2y+1=0,$$
$$(y-1)^2=0.$$Отсюда $$y=1,$$ тогда $$x=3-1=2.$$
Получаем решение: $$ (2; 1). $$
в)
$$\begin{cases} xy+x^2=1,\\ xy-x^2=\dfrac12 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2xy=\dfrac32,$$
$$xy=\dfrac34.$$Вычтем второе уравнение из первого:
$$2x^2=1-\dfrac12=\dfrac12,$$
$$x^2=\dfrac14,$$
$$x=\pm \dfrac12.$$Из первого уравнения:
$$y=\dfrac{1}{x}-x.$$
Если $$x=\dfrac12,$$ то
$$y=2-\dfrac12=\dfrac32.$$
Если $$x=-\dfrac12,$$ то
$$y=-2+\dfrac12=-\dfrac32.$$
Получаем решения: $$\left(-\dfrac12;-\dfrac32\right)$$ и $$\left(\dfrac12;\dfrac32\right).$$
г)
$$\begin{cases} x+y+xy=-6,\\ x+y-xy=10 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x+2y=4,$$
$$x+y=2,$$
$$y=2-x.$$Подставим в первое уравнение:
$$x+(2-x)+x(2-x)=-6,$$
$$2+2x-x^2=-6,$$
$$-x^2+2x+8=0,$$
$$x^2-2x-8=0.$$$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$
$$x=\dfrac{2\pm 6}{2}.$$Тогда $$x_1=-2,$$ $$x_2=4.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
при $$x=-2$$: $$y=2-(-2)=4;$$
при $$x=4$$: $$y=2-4=-2.$$Получаем решения: $$(-2; 4)$$ и $$(4; -2).$$
Ответ
а) $$(4; 3),\ (-4; 3),\ (4; -3),\ (-4; -3);$$
б) $$(2; 1);$$
в) $$\left(-\dfrac12;-\dfrac32\right),\ \left(\dfrac12;\dfrac32\right);$$
г) $$(-2; 4),\ (4; -2).$$
