Упр.3.120 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

461.
а) x + y = 4(x — y) и x^2 — y^2 = 16;
б) 2x — 2y = x + y и x^2 — y^2 = 8;
в) 3(x — y) = x + y и (x^2 — y^2)/3 = 1;
г) x^2 — y^2 = 10 и 2(x + y) = 5(x — y).
Указание. а) Введите замену x + y = a; x — y = b.

Подробный ответ

а) Введём замену: $$x+y=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$ \begin{cases} a=4b,\\ ab=16. \end{cases} $$
Подставим $$a=4b$$ во второе уравнение:
$$4b^2=16,\quad b^2=4,\quad b=\pm 2.$$
Если $$b=-2,$$ то $$a=-8,$$ и
$$ \begin{cases} x+y=-8,\\ x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 2x=-10,\ x=-5,\ y=-3. $$
Если $$b=2,$$ то $$a=8,$$ и
$$ \begin{cases} x+y=8,\\ x-y=2 \end{cases} \Rightarrow 2x=10,\ x=5,\ y=3. $$
б) Пусть $$x+y=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 2b=a,\\ ab=8. \end{cases} $$
Подставим $$a=2b$$:
$$2b^2=8,\quad b^2=4,\quad b=\pm 2.$$
Если $$b=-2,$$ то $$a=-4,$$ и
$$ \begin{cases} x+y=-4,\\ x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 2x=-6,\ x=-3,\ y=-1. $$
Если $$b=2,$$ то $$a=4,$$ и
$$ \begin{cases} x+y=4,\\ x-y=2 \end{cases} \Rightarrow 2x=6,\ x=3,\ y=1. $$
в) Пусть $$x+y=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 3b=a,\\ ab=3. \end{cases} $$
Подставим $$a=3b$$:
$$3b^2=3,\quad b^2=1,\quad b=\pm 1.$$
Если $$b=-1,$$ то $$a=-3,$$ и
$$ \begin{cases} x+y=-3,\\ x-y=-1 \end{cases} \Rightarrow 2x=-4,\ x=-2,\ y=-1. $$
Если $$b=1,$$ то $$a=3,$$ и
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1 \end{cases} \Rightarrow 2x=4,\ x=2,\ y=1. $$
г) Пусть $$x+y=a,\quad x-y=b.$$ Тогда
$$ \begin{cases} ab=10,\\ 2a=5b. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$a=2{,}5b.$$ Подставим в первое:
$$2{,}5b^2=10,\quad b^2=4,\quad b=\pm 2.$$
Если $$b=-2,$$ то $$a=-5,$$ и
$$ \begin{cases} x+y=-5,\\ x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 2x=-7,\ x=-3{,}5,\ y=-1{,}5. $$
Если $$b=2,$$ то $$a=5,$$ и
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ x-y=2 \end{cases} \Rightarrow 2x=7,\ x=3{,}5,\ y=1{,}5. $$