Упр.3.118 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

1/x + 1/y = 1/2 и x + y = 9.
Решение.
Представим левую часть первого уравнения в виде дроби:
(x + y)/xy = 1/2 и x + y = 9;
подставим в первое уравнение системы значение х + у:
9/xy = 1/2 и x + y = 9;
преобразуем первое уравнение с помощью основного свойства пропорции:
xy = 18 и x + y = 9.
Далее воспользуемся способом подстановки.
Доведите решение системы до конца.
2) Решите систему уравнений:
а) 1/x + 1/y = 2/3 и x + y = 8;
б) x — y = 20 и 1/x — 1/y = 4/15;
в) 1/x + 1/y = 1/2 и xy = -2.

Подробный ответ

Дана система
$$ \begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2},\\ x+y=9. \end{cases} $$
Приведём первое уравнение к общему знаменателю:
$$ \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}. $$
Подставим $$x+y=9$$:
$$ \frac{9}{xy}=\frac{1}{2} \Rightarrow xy=18. $$
Получаем систему
$$ \begin{cases} x+y=9,\\ xy=18. \end{cases} $$
Пусть $$y=9-x$$. Тогда
$$ x(9-x)=18, $$
$$ x^2-9x+18=0. $$
$$ D=9^2-4\cdot 18=81-72=9. $$
$$ x_{1,2}=\frac{9\pm 3}{2}. $$
Отсюда $$x_1=3$$, $$x_2=6$$. Тогда
$$ y_1=9-3=6,\qquad y_2=9-6=3. $$
а)
$$ \begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{3},\\ x+y=8. \end{cases} $$
$$ \frac{x+y}{xy}=\frac{2}{3}, \qquad x+y=8. $$
$$ \frac{8}{xy}=\frac{2}{3} \Rightarrow xy=12. $$
Тогда
$$ \begin{cases} x+y=8,\\ xy=12. \end{cases} $$
$$ y=8-x,\quad x(8-x)=12, $$
$$ x^2-8x+12=0. $$
$$ D=8^2-4\cdot 12=64-48=16. $$
$$ x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2}. $$
$$ x_1=2,\quad x_2=6. $$
Тогда
$$ y_1=6,\quad y_2=2. $$
б)
$$ \begin{cases} x-y=20,\\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{15}. \end{cases} $$
$$ \frac{y-x}{xy}=\frac{4}{15}. $$
Так как $$y-x=-20$$, получаем
$$ \frac{-20}{xy}=\frac{4}{15} \Rightarrow xy=-75. $$
Тогда
$$ \begin{cases} x-y=20,\\ xy=-75. \end{cases} $$
Пусть $$y=x-20$$. Тогда
$$ x(x-20)=-75, $$
$$ x^2-20x+75=0. $$
$$ D=20^2-4\cdot 75=400-300=100. $$
$$ x_{1,2}=\frac{20\pm 10}{2}. $$
$$ x_1=5,\quad x_2=15. $$
Тогда
$$ y_1=5-20=-15,\quad y_2=15-20=-5. $$
в)
$$ \begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2},\\ xy=-2. \end{cases} $$
$$ \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}. $$
Подставим $$xy=-2$$:
$$ \frac{x+y}{-2}=\frac{1}{2} \Rightarrow x+y=-1. $$
Получаем систему
$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ xy=-2. \end{cases} $$
Пусть $$y=-x-1$$. Тогда
$$ x(-x-1)=-2, $$
$$ x^2+x-2=0. $$
$$ D=1^2+4\cdot 2=9. $$
$$ x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}. $$
$$ x_1=-2,\quad x_2=1. $$
Тогда
$$ y_1=1,\quad y_2=-2. $$