Упр.3.117 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) y — x = 9 и 10/y — 4/x = 3;
б) 1/x + 2/y = 1 и 3x — y = 2;
в) 2x — y = -1 и 1/(x + 2) + 10/(y + 2) = 1;
г) x — 3y = 5 и 6/(x + 1) — 4/(y + 3) = 3.

1. а) Из первого уравнения выразим $$y$$:

   $$y=x+9.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{10}{x+9}-\frac{4}{x}=3.$$

   Умножим на $$x(x+9)$$:

   $$10x-4(x+9)=3x(x+9).$$

   $$10x-4x-36=3x^2+27x.$$

   $$3x^2+21x+36=0.$$

   $$x^2+7x+12=0.$$

   $$\left(x+4\right)\left(x+3\right)=0,$$

   откуда $$x=-4$$ или $$x=-3$$.

   Тогда $$y=x+9$$, значит $$y=5$$ или $$y=6$$.

   Получаем пары решений: $$(-4; 5)$$ и $$(-3; 6)$$.

2. б) Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=3x-2.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{1}{x}+\frac{2}{3x-2}=1.$$

   Умножим на $$x(3x-2)$$:

   $$3x-2+2x=x(3x-2).$$

   $$5x-2=3x^2-2x.$$

   $$3x^2-7x+2=0.$$

   $$D=49-24=25.$$

   $$x=\frac{7\pm 5}{6},$$

   откуда $$x=\frac13$$ или $$x=2$$.

   Тогда

   $$y=3\cdot\frac13-2=-1,$$

   $$y=3\cdot 2-2=4.$$

   Ответ: $$\left(\frac13; -1\right)$$ и $$\left(2; 4\right).$$

3. в) Из первого уравнения выразим $$y$$:

   $$y=2x+1.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{1}{x+2}+\frac{10}{2x+3}=1.$$

   Умножим на $$\left(x+2\right)\left(2x+3\right)$$:

   $$2x+3+10(x+2)=(x+2)(2x+3).$$

   $$2x+3+10x+20=2x^2+7x+6.$$

   $$2x^2-5x-17=0.$$

   $$D=25+136=161.$$

   $$x=\frac{5\pm\sqrt{161}}{4}.$$

   Тогда

   $$y=2x+1=\frac{7\pm\sqrt{161}}{2}.$$

   Получаем решения:

   $$\left(\frac{5+\sqrt{161}}{4}; \frac{7+\sqrt{161}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{5-\sqrt{161}}{4}; \frac{7-\sqrt{161}}{2}\right).$$

4. г) Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x=5+3y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{6}{5+3y+1}-\frac{4}{y+3}=3,$$

   то есть

   $$\frac{6}{3y+6}-\frac{4}{y+3}=3.$$

   Умножим на $$\left(3y+6\right)\left(y+3\right)$$:

   $$6(y+3)-4(3y+6)=3(3y+6)(y+3).$$

   $$6y+18-12y-24=3(3y^2+15y+18).$$

   $$-6y-6=9y^2+45y+54.$$

   $$3y^2+17y+20=0.$$

   $$D=289-240=49.$$

   $$y=\frac{-17\pm 7}{6},$$

   откуда $$y=-4$$ или $$y=-\frac53$$.

   Тогда

   $$x=5+3(-4)=-7,$$

   $$x=5+3\left(-\frac53\right)=0.$$

   Ответ: $$(-7; -4)$$ и $$\left(0; -\frac53\right).$$

Ответ

а) $$(-4; 5)$$ и $$(-3; 6)$$; б) $$\left(\frac13; -1\right)$$ и $$\left(2; 4\right)$$; в) $$\left(\frac{5+\sqrt{161}}{4}; \frac{7+\sqrt{161}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{5-\sqrt{161}}{4}; \frac{7-\sqrt{161}}{2}\right)$$; г) $$(-7; -4)$$ и $$\left(0; -\frac53\right).$$