Упр.3.116 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) xy = -4 и x^2 + y^2 = 8;
б) x^2 + y^2 = 29 и xy = -10.

а) Из уравнения $$xy=-4$$ выразим $$y$$:

$$y=-\frac{4}{x}, \quad x\ne 0.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+\left(-\frac{4}{x}\right)^2=8.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4+16-8x^2=0.$$

Положим $$z=x^2$$. Тогда получаем:

$$z^2-8z+16=0,$$

$$\left(z-4\right)^2=0,$$

$$z=4.$$

Значит, $$x^2=4$$, откуда $$x=\pm 2.$$

Тогда

$$y=-\frac{4}{x}.$$

Если $$x=2$$, то $$y=-2$$; если $$x=-2$$, то $$y=2$$.

б) Из уравнения $$xy=-10$$ выразим $$y$$:

$$y=-\frac{10}{x}, \quad x\ne 0.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+\left(-\frac{10}{x}\right)^2=29.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-29x^2+100=0.$$

Положим $$z=x^2$$. Тогда:

$$z^2-29z+100=0.$$

Найдём корни:

$$D=29^2-4\cdot 100=841-400=441,$$

$$z_{1,2}=\frac{29\pm 21}{2}.$$

Получаем:

$$z_1=4,\quad z_2=25.$$

Значит,

$$x=\pm 2 \quad \text{или} \quad x=\pm 5.$$

Тогда по формуле $$y=-\frac{10}{x}$$ находим:

при $$x=2$$, $$y=-5$$;

при $$x=-2$$, $$y=5$$;

при $$x=5$$, $$y=-2$$;

при $$x=-5$$, $$y=2$$.

Ответ

а) $$(2;\,-2),\;(-2;\,2).$$

б) $$(-2;\,5),\;(2;\,-5),\;(-5;\,2),\;(5;\,-2).$$