Упр.3.115 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
а) y + 2x = 0 и 2x^2 + y^2 — 6y = 0;
б) 10y^2 — 4x = x^2 — 8y и 3y — x = 0;
в) x — y = 3 и x^2 — xy — 2y^2 = 7;
г) y + x = -2 и x^2 + 3y^2 = 9 — xy;
д) x^2 — 5xy = 64 — 10y и 4y + x = 10;
е) y + 2x = 1 и x^2 + xy + y^2 = 7;
ж) 2y = x^2 — 4x и 4y = 3x — 9;
з) 3x^2 + 2x = 3y и 6y = 30 + 12x.
а) Из первого уравнения $$y=-2x$$. Подставим во второе:
$$2x^2+(-2x)^2-6(-2x)=0$$
$$2x^2+4x^2+12x=0$$
$$6x^2+12x=0$$
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-2$$.
Тогда $$y=0$$ или $$y=4$$.
Ответ: $$(0;0)$$ и $$(-2;4)$$.
б) Из второго уравнения $$x=3y$$. Подставим в первое:
$$10y^2-4\cdot 3y=(3y)^2-8y$$
$$10y^2-12y=9y^2-8y$$
$$y^2-4y=0$$
$$y(y-4)=0$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=4$$.
Тогда $$x=0$$ или $$x=12$$.
Ответ: $$(0;0)$$ и $$(12;4)$$.
в) Из первого уравнения $$y=x-3$$. Подставим во второе:
$$x^2-x(x-3)-2(x-3)^2=7$$
$$x^2-x^2+3x-2(x^2-6x+9)=7$$
$$-2x^2+15x-18=7$$
$$-2x^2+15x-25=0$$
$$2x^2-15x+25=0$$
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 25=25$$
$$x=\frac{15\pm 5}{4}$$
$$x_1=5,\quad x_2=2{,}5$$
Тогда
$$y_1=5-3=2,\quad y_2=2{,}5-3=-0{,}5$$
Ответ: $$(5;2)$$ и $$(2{,}5;-0{,}5)$$.
г) Из первого уравнения $$y=-2-x$$. Подставим во второе:
$$x^2+3(-2-x)^2=9-x(-2-x)$$
$$x^2+3(x^2+4x+4)=9+2x+x^2$$
$$3x^2+10x+3=0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$
$$x=\frac{-10\pm 8}{6}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=-\frac13$$
Тогда
$$y_1=1,\quad y_2=-1\frac23$$
Ответ: $$(-3;1)$$ и $$\left(-\frac13;-1\frac23\right)$$.
д) Из второго уравнения $$x=10-4y$$. Подставим в первое:
$$(10-4y)^2-5y(10-4y)=64-10y$$
$$100-80y+16y^2-50y+20y^2=64-10y$$
$$36y^2-120y+36=0$$
$$3y^2-10y+3=0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$
$$y=\frac{10\pm 8}{6}$$
$$y_1=\frac13,\quad y_2=3$$
Тогда
$$x_1=10-4\cdot \frac13=\frac{26}{3},\quad x_2=10-4\cdot 3=-2$$
Ответ: $$\left(\frac{26}{3};\frac13\right)$$ и $$(-2;3)$$.
е) Из первого уравнения $$y=1-2x$$. Подставим во второе:
$$x^2+x(1-2x)+(1-2x)^2=7$$
$$x^2+x-2x^2+1-4x+4x^2=7$$
$$3x^2-3x-6=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2$$
Тогда
$$y_1=3,\quad y_2=-3$$
Ответ: $$(-1;3)$$ и $$(2;-3)$$.
ж) Из первого уравнения $$y=\frac{x^2-4x}{2}$$. Подставим во второе:
$$4\cdot \frac{x^2-4x}{2}=3x-9$$
$$2x^2-8x=3x-9$$
$$2x^2-11x+9=0$$
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 9=49$$
$$x=\frac{11\pm 7}{4}$$
$$x_1=1,\quad x_2=\frac92$$
Тогда
$$y_1=\frac{1^2-4\cdot 1}{2}=-\frac32,\quad y_2=\frac{\left(\frac92\right)^2-4\cdot \frac92}{2}=\frac98$$
Ответ: $$(1;-1{,}5)$$ и $$\left(4\frac12;\frac98\right)$$.
з) Из второго уравнения $$y=5+2x$$. Подставим в первое:
$$3x^2+2x=3(5+2x)$$
$$3x^2+2x-15-6x=0$$
$$3x^2-4x-15=0$$
$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 15=196$$
$$x=\frac{4\pm 14}{6}$$
$$x_1=-\frac53,\quad x_2=3$$
Тогда
$$y_1=5+2\cdot \left(-\frac53\right)=\frac53,\quad y_2=5+2\cdot 3=11$$
Ответ: $$\left(-\frac53;\frac53\right)$$ и $$(3;11)$$.
Ответ
а) $$(0;0)$$ и $$(-2;4)$$; б) $$(0;0)$$ и $$(12;4)$$; в) $$(5;2)$$ и $$(2{,}5;-0{,}5)$$; г) $$(-3;1)$$ и $$\left(-\frac13;-1\frac23\right)$$; д) $$\left(\frac{26}{3};\frac13\right)$$ и $$(-2;3)$$; е) $$(-1;3)$$ и $$(2;-3)$$; ж) $$(1;-1{,}5)$$ и $$\left(4\frac12;\frac98\right)$$; з) $$\left(-\frac53;\frac53\right)$$ и $$(3;11)$$.
