Упр.2.93 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 8. Задайте формулой зависимость площади $$S$$ прямоугольного треугольника от длины катета $$x$$ (рис. 2.40). Определите, при каком значении $$x$$ треугольник имеет наибольшую площадь. Дайте геометрическое истолкование вашего ответа.

Пусть один катет равен $$x$$ см, тогда второй катет равен $$8-x$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac12 x(8-x).$$

Преобразуем:

$$S=4x-\frac12 x^2.$$

Это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями вниз, значит наибольшее значение площади достигается в вершине.

Найдём абсциссу вершины:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-\frac12)}=4.$$

Тогда второй катет:

$$8-4=4.$$

Значит, наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник с равными катетами.

Ответ

$$S=\frac12 x(8-x)=4x-\frac12 x^2.$$ Наибольшая площадь достигается при $$x=4$$ см; при этом оба катета равны $$4$$ см, то есть треугольник равнобедренный.