Упр.2.92 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

В задачах 285—286 воспользуйтесь схематическими графиками.

1. Площадь прямоугольника $$S$$ с периметром, равным $$16\text{ см}$$, является функцией длины его основания $$x$$. Задайте эту функцию формулой. Определите, при каком значении $$x$$ функция принимает наибольшее значение. Дайте геометрическое истолкование вашего ответа.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$8-x$$ см, так как

$$2(x+(8-x))=16.$$

Тогда площадь прямоугольника выражается формулой

$$S(x)=x(8-x)=8x-x^2.$$

Это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями вниз. Значит, наибольшее значение площадь принимает в вершине параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4.$$

При этом

$$S(4)=4\cdot(8-4)=16.$$

Геометрически это означает, что наибольшую площадь при данном периметре имеет квадрат, то есть прямоугольник со сторонами $$4$$ см и $$4$$ см.

Ответ

$$S(x)=8x-x^2,$$ наибольшее значение функция принимает при $$x=4$$ см.