Упр.2.85 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
2) Начертите график зависимости А от х.
3) Какова область определения рассматриваемой функции?
4) Опишите, как меняется площадь А кольца с изменением х от 0 до 2; от 0 до 1; от 1 до 2.
Пусть $$x$$ — ширина кольца, тогда радиус внутреннего круга равен $$r=2-x$$.
Площадь внешнего круга:
$$S_{\text{внеш}}=\pi\cdot 2^2=4\pi.$$
Площадь внутреннего круга:
$$S_{\text{внут}}=\pi(2-x)^2.$$
Тогда площадь кольца
$$A=4\pi-\pi(2-x)^2.$$
Упростим:
$$ A=4\pi-\pi(4-4x+x^2)=4\pi-4\pi+4\pi x-\pi x^2=4\pi x-\pi x^2. $$
Если принять $$\pi=3$$, то
$$A=12x-3x^2.$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз. На концах области определения:
$$A(0)=0,\qquad A(2)=12.$$
Для построения графика можно отметить точки:
$$ (0;0),\ (0{,}4;4{,}3),\ (0{,}8;7{,}7),\ (1;9),\ (1{,}4;10{,}9),\ (1{,}8;11{,}9),\ (2;12). $$
Так как ширина кольца не может быть отрицательной и не может превышать радиус внешнего круга, то
$$D(x)=[0;2].$$
Функция $$A=12x-3x^2$$ на этом промежутке возрастает, поэтому:
- при $$x$$ от $$0$$ до $$2$$ площадь увеличивается от $$0$$ до $$12\text{ см}^2$$;
- при $$x$$ от $$0$$ до $$1$$ площадь увеличивается от $$0$$ до $$9\text{ см}^2$$;
- при $$x$$ от $$1$$ до $$2$$ площадь увеличивается от $$9\text{ см}^2$$ до $$12\text{ см}^2$$.
Ответ
1) $$A=4\pi x-\pi x^2$$, при $$\pi=3$$: $$A=12x-3x^2$$.
2) График — парабола $$A=12x-3x^2$$ на отрезке $$[0;2]$$.
3) $$D(x)=[0;2].$$
4) От $$0$$ до $$2$$: от $$0$$ до $$12\text{ см}^2$$; от $$0$$ до $$1$$: от $$0$$ до $$9\text{ см}^2$$; от $$1$$ до $$2$$: от $$9\text{ см}^2$$ до $$12\text{ см}^2$$.
