Упр.2.77 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
а) y = x^2 + 6x + 5;
б) y = -x^2 + 2x — 5;
в) y = 1/2 x^2 — 2x;
г) y = -2x^2 + 8;
д) y = -1/2 x^2 + 3x — 4;
е) y = x^2 + 4x + 4;
В каждом случае укажите:
1) промежутки возрастания и убывания функции;
2) значения х, при которых у = 0; у > 0; у < О;
3) наибольшее или наименьшее значение функции;
4) область значений функции.
а) $$y=x^2+6x+5=(x+3)^2-4.$$
Вершина параболы: $$(-3;\,-4).$$ Ветви направлены вверх.
Нули функции: $$x^2+6x+5=0 \Rightarrow (x+1)(x+5)=0,$$ значит $$x=-5,\,-1.$$
Тогда функция убывает при $$x\in(-\infty;\,-3],$$ возрастает при $$x\in[-3;\,+\infty).$$
$$y=0$$ при $$x=-5$$ и $$x=-1$$;
$$y>0$$ при $$x\in(-\infty;\,-5)\cup(-1;\,+\infty),$$
$$y<0$$ при $$x\in(-5;\,-1).$$
Наименьшее значение: $$y_{\min}=-4.$$
Область значений: $$E(y)=[-4;\,+\infty).$$
б) $$y=-x^2+2x-5=-(x-1)^2-4.$$
Вершина параболы: $$\left(1;\,-4\right).$$ Ветви направлены вниз.
Так как $$-(x-1)^2-4<0$$ при любом $$x,$$ то нулей нет.
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;\,1],$$ убывает при $$x\in[1;\,+\infty).$$
$$y=0$$ — нет решений;
$$y>0$$ — нет;
$$y<0$$ при всех $$x\in(-\infty;\,+\infty).$$
Наибольшее значение: $$y_{\max}=-4.$$
Область значений: $$E(y)=(-\infty;\,-4].$$
в) $$y=\frac12x^2-2x=\frac12(x-2)^2-2.$$
Вершина параболы: $$\left(2;\,-2\right).$$ Ветви направлены вверх.
Нули функции: $$\frac12x^2-2x=0 \Rightarrow x\left(\frac12x-2\right)=0,$$ значит $$x=0,\;4.$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;\,2],$$ возрастает при $$x\in[2;\,+\infty).$$
$$y=0$$ при $$x=0$$ и $$x=4$$;
$$y>0$$ при $$x\in(-\infty;\,0)\cup(4;\,+\infty),$$
$$y<0$$ при $$x\in(0;\,4).$$
Наименьшее значение: $$y_{\min}=-2.$$
Область значений: $$E(y)=[-2;\,+\infty).$$
г) $$y=-2x^2+8=-2(x-0)^2+8.$$
Вершина параболы: $$\left(0;\,8\right).$$ Ветви направлены вниз.
Нули функции: $$-2x^2+8=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2.$$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;\,0],$$ убывает при $$x\in[0;\,+\infty).$$
$$y=0$$ при $$x=-2$$ и $$x=2$$;
$$y>0$$ при $$x\in(-2;\,2),$$
$$y<0$$ при $$x\in(-\infty;\,-2)\cup(2;\,+\infty).$$
Наибольшее значение: $$y_{\max}=8.$$
Область значений: $$E(y)=(-\infty;\,8].$$
д) $$y=-\frac12x^2+3x-4=-\frac12(x-3)^2+\frac12.$$
Вершина параболы: $$\left(3;\,\frac12\right).$$ Ветви направлены вниз.
Нули функции: $$-\frac12x^2+3x-4=0 \Rightarrow x^2-6x+8=0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0,$$ значит $$x=2,\;4.$$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;\,3],$$ убывает при $$x\in[3;\,+\infty).$$
$$y=0$$ при $$x=2$$ и $$x=4$$;
$$y>0$$ при $$x\in(2;\,4),$$
$$y<0$$ при $$x\in(-\infty;\,2)\cup(4;\,+\infty).$$
Наибольшее значение: $$y_{\max}=\frac12.$$
Область значений: $$E(y)=(-\infty;\,\frac12].$$
е) $$y=x^2+4x+4=(x+2)^2.$$
Вершина параболы: $$(-2;\,0).$$ Ветви направлены вверх.
Так как $$y=(x+2)^2\ge 0,$$ то
$$y=0$$ при $$x=-2,$$
$$y>0$$ при $$x\in(-\infty;\,-2)\cup(-2;\,+\infty),$$
$$y<0$$ — нет.
Функция убывает при $$x\in(-\infty;\,-2],$$ возрастает при $$x\in[-2;\,+\infty).$$
Наименьшее значение: $$y_{\min}=0.$$
Область значений: $$E(y)=[0;\,+\infty).$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-4,$$ $$E(y)=[-4;\,+\infty).$$
б) $$y_{\max}=-4,$$ $$E(y)=(-\infty;\,-4].$$
в) $$y_{\min}=-2,$$ $$E(y)=[-2;\,+\infty).$$
г) $$y_{\max}=8,$$ $$E(y)=(-\infty;\,8].$$
д) $$y_{\max}=\frac12,$$ $$E(y)=(-\infty;\,\frac12].$$
е) $$y_{\min}=0,$$ $$E(y)=[0;\,+\infty).$$
