Упр.2.72 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
а) у = х^2 — 4х + 3; д) у = 0,5х^2 — х — 4;
б) у = -х^2 + 4х — 3; е) у = -О,5х^2 — х + 4;
в) у = 2х^2 + 4х — 6; ж) у = -х^2 + 2х;
г) у = -2х^2 + 4х + 6; з) у = 1/4 х^2 — х.
В каждом случае укажите:
1) наибольшее или наименьшее значение функции;
2) промежутки возрастания и убывания функции;
3) нули функции;
4) значения х, при которых у > 0, у < 0.
а) $$y=x^2-4x+3$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$
$$y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1.$$
Значит, наименьшее значение функции: $$y_{\min}=-1.$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;2],$$ возрастает при $$x\in[2;+\infty).$$
Нули функции:
$$x^2-4x+3=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=3.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(1;3).$$
б) $$y=-x^2+4x-3$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$
$$y_0=-(2)^2+4\cdot 2-3=1.$$
Значит, наибольшее значение функции: $$y_{\max}=1.$$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;2],$$ убывает при $$x\in[2;+\infty).$$
Нули функции:
$$-x^2+4x-3=0$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=3.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(1;3),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty).$$
в) $$y=2x^2+4x-6$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1,$$
$$y_0=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)-6=-8.$$
Значит, наименьшее значение функции: $$y_{\min}=-8.$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;-1],$$ возрастает при $$x\in[-1;+\infty).$$
Нули функции:
$$2x^2+4x-6=0$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0,$$
$$x=-3 \text{ или } x=1.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-3;1).$$
г) $$y=-2x^2+4x+6$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot(-2)}=1,$$
$$y_0=-2\cdot 1^2+4\cdot 1+6=8.$$
Значит, наибольшее значение функции: $$y_{\max}=8.$$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;1],$$ убывает при $$x\in[1;+\infty).$$
Нули функции:
$$-2x^2+4x+6=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0,$$
$$x=-1 \text{ или } x=3.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-1;3),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty).$$
д) $$y=0{,}5x^2-x-4$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{-1}{2\cdot 0{,}5}=1,$$
$$y_0=0{,}5\cdot 1^2-1-4=-4{,}5.$$
Значит, наименьшее значение функции: $$y_{\min}=-4{,}5.$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;1],$$ возрастает при $$x\in[1;+\infty).$$
Нули функции:
$$0{,}5x^2-x-4=0$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-4\right)=0,$$
$$x=-2 \text{ или } x=4.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-2;4).$$
е) $$y=-0{,}5x^2-x+4$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{-1}{2\cdot(-0{,}5)}=-1,$$
$$y_0=-0{,}5\cdot(-1)^2-(-1)+4=4{,}5.$$
Значит, наибольшее значение функции: $$y_{\max}=4{,}5.$$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;-1],$$ убывает при $$x\in[-1;+\infty).$$
Нули функции:
$$-0{,}5x^2-x+4=0$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0,$$
$$x=-4 \text{ или } x=2.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-4;2),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty).$$
ж) $$y=-x^2+2x$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$
$$y_0=-(1)^2+2\cdot 1=1.$$
Значит, наибольшее значение функции: $$y_{\max}=1.$$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;1],$$ убывает при $$x\in[1;+\infty).$$
Нули функции:
$$-x^2+2x=0$$
$$x\left(2-x\right)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=2.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(0;2),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$
з) $$y=\frac14x^2-x$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{-1}{2\cdot \frac14}=2,$$
$$y_0=\frac14\cdot 2^2-2=-1.$$
Значит, наименьшее значение функции: $$y_{\min}=-1.$$
Функция убывает при $$x\in(-\infty;2],$$ возрастает при $$x\in[2;+\infty).$$
Нули функции:
$$\frac14x^2-x=0$$
$$x\left(\frac14x-1\right)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=4.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(0;4).$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-1$$; убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$; нули $$x=1,\,3$$; $$y>0$$ при $$(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$, $$y<0$$ при $$ (1;3)$$.
б) $$y_{\max}=1$$; возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$; нули $$x=1,\,3$$; $$y>0$$ при $$ (1;3)$$, $$y<0$$ при $$(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$.
в) $$y_{\min}=-8$$; убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$; нули $$x=-3,\,1$$; $$y>0$$ при $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$, $$y<0$$ при $$(-3;1)$$.
г) $$y_{\max}=8$$; возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; нули $$x=-1,\,3$$; $$y>0$$ при $$(-1;3)$$, $$y<0$$ при $$(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$$.
д) $$y_{\min}=-4{,}5$$; убывает на $$(-\infty;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$; нули $$x=-2,\,4$$; $$y>0$$ при $$(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)$$, $$y<0$$ при $$(-2;4)$$.
е) $$y_{\max}=4{,}5$$; возрастает на $$(-\infty;-1]$$, убывает на $$[-1;+\infty)$$; нули $$x=-4,\,2$$; $$y>0$$ при $$(-4;2)$$, $$y<0$$ при $$(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)$$.
ж) $$y_{\max}=1$$; возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$; нули $$x=0,\,2$$; $$y>0$$ при $$ (0;2)$$, $$y<0$$ при $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$.
з) $$y_{\min}=-1$$; убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$; нули $$x=0,\,4$$; $$y>0$$ при $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$, $$y<0$$ при $$ (0;4)$$.
