Упр.2.70 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Укажите направление ветвей параболы, вычислите координаты вершины и покажите схематически расположение параболы в координатной плоскости: а) $$y=x^2-4x+3$$; б) $$y=-2x^2+2x-1$$; в) $$y=\frac{1}{2}x^2+8x+34$$; г) $$y=-x^2-14x-48$$.

Для квадратичной функции вида $$y=ax^2+bx+c$$:

• если $$a>0$$, ветви параболы направлены вверх;
• если $$a<0$$, ветви параболы направлены вниз;
• координаты вершины: $$x_0=-\frac{b}{2a}, \quad y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}.$$

1. $$y=x^2-4x+3$$

   Здесь $$a=1>0$$, значит, ветви направлены вверх.

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$
   $$y_0=\frac{4\cdot 1\cdot 3-(-4)^2}{4\cdot 1} =\frac{12-16}{4}=-1.$$

   Вершина: $$\left(2;\,-1\right).$$

2. $$y=-2x^2+2x-1$$

   Здесь $$a=-2<0$$, значит, ветви направлены вниз.

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{2}{2\cdot(-2)}=\frac12,$$
   $$y_0=\frac{4\cdot(-2)\cdot(-1)-2^2}{4\cdot(-2)} =\frac{8-4}{-8}=-\frac12.$$

   Вершина: $$\left(\frac12;\,-\frac12\right).$$

3. $$y=\frac12x^2+8x+34$$

   Здесь $$a=\frac12>0$$, значит, ветви направлены вверх.

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{8}{2\cdot \frac12}=-8,$$
   $$y_0=\frac{4\cdot \frac12 \cdot 34-8^2}{4\cdot \frac12} =\frac{68-64}{2}=2.$$

   Вершина: $$(-8;\,2).$$

4. $$y=-x^2-14x-48$$

   Здесь $$a=-1<0$$, значит, ветви направлены вниз.

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{-14}{2\cdot(-1)}=-7,$$
   $$y_0=\frac{4\cdot(-1)\cdot(-48)-(-14)^2}{4\cdot(-1)} =\frac{192-196}{-4}=1.$$

   Вершина: $$(-7;\,1).$$

Ответ

а) ветви вверх, вершина $$\left(2;\,-1\right)$$;
б) ветви вниз, вершина $$\left(\frac12;\,-\frac12\right)$$;
в) ветви вверх, вершина $$(-8;\,2)$$;
г) ветви вниз, вершина $$(-7;\,1)$$.