Упр.2.56 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) у = (х + З)^2 — 4; в) у = -(х + 1)^2 — 1;
б) у = -2(х — 1)^2 + 3; г) у = 1/2 (х — 4)^2 + 1.
Для каждой функции укажите наибольшее (или наименьшее) значение, а также промежуток убывания и промежуток возрастания.

1. а) $$y=(x+3)^2-4$$

   Это парабола $$y=x^2$$, сдвинутая на 3 единицы влево и на 4 единицы вниз. Вершина параболы: $$(-3;\,-4)$$.

   Так как ветви направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после неё:

   $$x\in(-\infty;\,-3]$$ — убывает,

   $$x\in[-3;\,+\infty)$$ — возрастает.

   Наименьшее значение: $$y_{\min}=-4$$.

2. б) $$y=-2(x-1)^2+3$$

   Это парабола $$y=-2x^2$$, сдвинутая на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх. Вершина параболы: $$ (1;\,3) $$.

   Так как ветви направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после неё:

   $$x\in(-\infty;\,1]$$ — возрастает,

   $$x\in[1;\,+\infty)$$ — убывает.

   Наибольшее значение: $$y_{\max}=3$$.

3. в) $$y=-(x+1)^2-1$$

   Это парабола $$y=-x^2$$, сдвинутая на 1 единицу влево и на 1 единицу вниз. Вершина параболы: $$(-1;\,-1)$$.

   Так как ветви направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после неё:

   $$x\in(-\infty;\,-1]$$ — возрастает,

   $$x\in[-1;\,+\infty)$$ — убывает.

   Наибольшее значение: $$y_{\max}=-1$$.

4. г) $$y=\frac12(x-4)^2+1$$

   Это парабола $$y=\frac12x^2$$, сдвинутая на 4 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Вершина параболы: $$ (4;\,1) $$.

   Так как ветви направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после неё:

   $$x\in(-\infty;\,4]$$ — убывает,

   $$x\in[4;\,+\infty)$$ — возрастает.

   Наименьшее значение: $$y_{\min}=1$$.

Ответ

а) $$y_{\min}=-4$$, убывает на $$(-\infty;\,-3]$$, возрастает на $$[-3;\,+\infty)$$;
б) $$y_{\max}=3$$, возрастает на $$(-\infty;\,1]$$, убывает на $$[1;\,+\infty)$$;
в) $$y_{\max}=-1$$, возрастает на $$(-\infty;\,-1]$$, убывает на $$[-1;\,+\infty)$$;
г) $$y_{\min}=1$$, убывает на $$(-\infty;\,4]$$, возрастает на $$[4;\,+\infty)$$.