Упр.2.38 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1) Постройте параболу у = 1/4 х^2.
2) В этой же системе координат проведите прямую d, уравнение которой у = -1, и отметьте точку F(0; 1).
3) Отметьте на параболе несколько точек с целыми координатами и для каждой из них вычислите расстояния до точки F и до прямой d.
4) Докажите, что любая точка параболы у = 1/4 х^2 находится на одинаковом расстоянии от точки F и от прямой d.
Подсказка. Возьмите произвольную точку параболы (x; 1/4 x^2).
Составьте выражения для нахождения расстояний от этой точки до точки F и до прямой d.

1) Построим параболу $$y=\frac14x^2.$$ Для этого удобно взять несколько точек с целыми координатами:

$$ x=-6,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4,\,6 $$

Тогда

$$ y=9,\,4,\,1,\,0,\,1,\,4,\,9. $$

Получаем точки $$(-6;9),\,(-4;4),\,(-2;1),\,(0;0),\,(2;1),\,(4;4),\,(6;9).$$

2) В той же системе координат проводим прямую $$d: y=-1$$ и отмечаем точку $$F(0;1).$$

3) Найдём расстояния от некоторых точек параболы до точки $$F$$ и до прямой $$d$$:

$$ FA=\sqrt{(-2-0)^2+(1-1)^2}=\sqrt{4}=2, $$
$$ FB=\sqrt{(-6-0)^2+(9-1)^2}=\sqrt{36+64}=10, $$
$$ FC=\sqrt{(4-0)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5. $$

Расстояния от этих точек до прямой $$d$$ равны соответственно:

$$ 2,\quad 10,\quad 5. $$

4) Возьмём произвольную точку параболы $$\left(x;\frac14x^2\right).$$

Расстояние от неё до точки $$F(0;1)$$:

$$ \sqrt{(x-0)^2+\left(\frac14x^2-1\right)^2} = \sqrt{x^2+\frac1{16}x^4-\frac12x^2+1} = \sqrt{\frac1{16}x^4+\frac12x^2+1}. $$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$ \frac1{16}x^4+\frac12x^2+1=\left(\frac14x^2+1\right)^2. $$

Значит,

$$ \sqrt{\left(\frac14x^2+1\right)^2}=\frac14x^2+1. $$

Расстояние от точки $$\left(x;\frac14x^2\right)$$ до прямой $$y=-1$$ равно

$$ \frac14x^2-(-1)=\frac14x^2+1. $$

Следовательно, любая точка параболы $$y=\frac14x^2$$ находится на одинаковом расстоянии от точки $$F(0;1)$$ и от прямой $$d: y=-1.$$

Ответ

Любая точка параболы $$y=\frac14x^2$$ равноудалена от точки $$F(0;1)$$ и прямой $$y=-1$$.